В результате эксперимента получены статистические данные
Таблица 1. Исходные данные
19,3 44,5 49,9 26,9 50,2 51,1 18,6 72,7 35,4 25,4
42,7 17,5 51,7 49,3 26,2 47,1 71,4 27,1 75,7 43,2
25,5 27,2 80,4 50,4 70,2 14,9 52,4 62,3 41,7 49,5
40,6 14,5 62,8 34,5 53,4 26,1 69,3 52,5 27,3 80,3
25,3 43,1 27,4 80,1 68,4 63,3 13,4 55,4 39,5 33,1
38,4 19,7 63,8 40,4 80,8 56,4 66,1 27,5 79,1 24,6
28,6 47,9 78,4 57,4 66,5 37,3 23,4 67,6 11,1 64,3
22,7 64,8 36,2 58,7 10,8 47,7 58,4 29,2 46,7 77,2
51,9 31,3 44,7 66,3 20,1 65,3 45,5 76,3 67,8 35,1
66,9 18,9 42,9 50,7 34,9 43,5 32,5 48,4 53,1 65,8
Требуется:
1)записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;
2)найти размах варьирования и разбить его на интервалы, используя формулу Стёрджеса;
3)построить интервальный статистический ряд, полигон частот, гистограмму относительных частот;
4)найти эмпирическую функцию распределения и построить её график;
5)найти числовые характеристики выборки: выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочную исправленную дисперсию;
6)найти доверительный интервал при надежности 0,99 для среднего квадратического отклонения.
7)приняв в качестве нулевой гипотезы H0: {генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет показательное распределение}, проверить её, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости 0,025.
Решение
1) Вариационным рядом называется упорядоченная по возрастанию реализация выборки.
Таблица 2. Вариационный ряд.
10,8 11,1 13,4 14,5 14,9 17,5 18,6 18,9 19,3 19,7
20,1 22,7 23,4 24,6 25,3 25,4 25,5 26,1 26,2 26,9
27,1 27,2 27,3 27,4 27,5 28,6 29,2 31,3 32,5 33,1
34,5 34,9 35,1 35,4 36,2 37,3 38,4 39,5 40,4 40,6
41,7 42,7 42,9 43,1 43,2 43,5 44,5 44,7 45,5 46,7
47,1 47,7 47,9 48,4 49,3 49,5 49,9 50,2 50,4 50,7
51,1 51,7 51,9 52,4 52,5 53,1 53,4 55,4 56,4 57,4
58,4 58,7 62,3 62,8 63,3 63,8 64,3 64,8 65,3 65,8
66,1 66,3 66,5 66,9 67,6 67,8 68,4 69,3 70,2 71,4
72,7 75,7 76,3 77,2 78,4 79,1 80,1 80,3 80,4 80,8
2) Размах вариации – разница между наибольшим и наименьшим значениями выборки:
R=xmax-xmin=80,8-10,8=70,0
Разобьём совокупность на интервалы с использованием формулы Стёрджеса:
k=1+log2N=1+log2100=7,64≈8
h=xmax-xmink=708=8,75
3). Построим интервальный статистический ряд с использованием определенной длины интервала.
Таблица 3. Интервальный статистический ряд.
Интервал частота
[ 10,80 ; 19,55 ) 9
[ 19,55 ; 28,30 ) 16
[ 28,30 ; 37,05 ) 10
[ 37,05 ; 45,80 ) 14
[ 45,80 ; 54,55 ) 18
[ 54,55 ; 63,30 ) 7
[ 63,30 ; 72,05 ) 16
[ 72,05 ; 80,80 ] 10
Построим полигон частот по исходным, не группированным данным.
Т.к. в среди исходных данных у всех значений выборки частота равна 1, полигон представляет собой прямую линию.
Построим гистограмму относительных частот по исходным, не группированным данным.
Т.к. в среди исходных данных у всех значений выборки частота равна 1, относительная частота каждого значения равна 1/100. Гистограмма представляет собой 100 одинаковых столбцов.
4) Найдем эмпирическую функцию распределения и построим её график.
Эмпирическая функция распределения
Fnx=nxn
Где nx – число вариант в выборке, меньших, чем х.
Запишем значения Fn(x) в таблицу:
Таблица 4
. Эмпирическая функция распределения.
Xi 10,8 11,1 13,4 14,5 14,9 17,5 18,6 18,9 19,3 19,7
Fn(Xi) 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10
Xi 20,1 22,7 23,4 24,6 25,3 25,4 25,5 26,1 26,2 26,9
Fn(Xi) 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20
Xi 27,1 27,2 27,3 27,4 27,5 28,6 29,2 31,3 32,5 33,1
Fn(Xi) 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30
Xi 34,5 34,9 35,1 35,4 36,2 37,3 38,4 39,5 40,4 40,6
Fn(Xi) 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40
Xi 41,7 42,7 42,9 43,1 43,2 43,5 44,5 44,7 45,5 46,7
Fn(Xi) 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50
Xi 47,1 47,7 47,9 48,4 49,3 49,5 49,9 50,2 50,4 50,7
Fn(Xi) 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60
Xi 51,1 51,7 51,9 52,4 52,5 53,1 53,4 55,4 56,4 57,4
Fn(Xi) 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70
Xi 58,4 58,7 62,3 62,8 63,3 63,8 64,3 64,8 65,3 65,8
Fn(Xi) 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80
Xi 66,1 66,3 66,5 66,9 67,6 67,8 68,4 69,3 70,2 71,4
Fn(Xi) 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90
Xi 72,7 75,7 76,3 77,2 78,4 79,1 80,1 80,3 80,4 80,8
Fn(Xi) 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00
Изобразим эмпирическую функцию распределения на графике.
5) Определим выборочную среднюю
x=xi*wi=46,243
Определим выборочную дисперсию.
Dв=x2-x2
x2=xi2*wi=2503,16
Dв=2503,16-46,2432=364,74
Определим выборочную исправленную дисперсию.
S2=nn-1*Dв=10099*364,74=368,42
6) Найдем доверительный интервал при надежности 0,99 для среднего квадратического отклонения.
Доверительный интервал для дисперсии равен
S2*n-1χ1+γ2,n-12<σ2<S2*n-1χ1-γ2,n-12
В таком случае доверительный интервал для среднего квадратического отклонения равен
S2*n-1χ1+γ2,n-12<σ<S*S2*n-1χ1-γ2,n-12
Где χ1-γ2,n-12 – квантиль распределения χn-12
Для нахождения значений χ2используем встроенную функцию Excel ХИ2.ОБР
1-γ2=1-0,992=0,005
1+γ2=1+0,992=0,995
Табличные значения χ2равны
χ0,995,992=138,99
χ0,005,992=66,51
В таком случае доверительный интервал для среднего квадратического отклонения
368,42*99138,99<σ<368,42*9966,51
16,20<σ<23,42
7
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
