В пространстве даны точки , . Сделать схематично чертеж пирамиды SABC и найти:
а) длину и уравнения ребра АВ;
б) площадь и уравнение грани АВС;
в) высоту, проведенную из вершины S к грани АВС, и ее уравнения;
г) проекцию вершины S на плоскость АВС;
д) уравнения проекции ребра АS на грань АВС;
е) уравнения прямой, проходящей через вершину S параллельно ребру АВ;
ж) уравнение плоскости, проходящей через вершину S параллельно грани АВС;
з) угол между ребрами АВ и AS;
и) угол между ребром AS и гранью АВС;
к) угол между гранями АВС и АВS;
л) координаты центра тяжести пирамиды АВСS;
м) объем пирамиды АВСS.
Значения
1 2 3
3 4 3
Решение
Имеем точки пространства:
А( - 2; - 3; 1 ), В( 3; 4; 1 ), С( 5; 3; 1 ); S( 1; - 3; 0 ).
Сделаем схематично чертеж пирамиды
S
а) длину ребра АВ найдем как длину вектора АВ. Т.к.
АВ=3--2;4--3;1-1, АВ=5;7;0, то
АВ=52+72+02=74.
Уравнения ребра найдем как уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
.
В нашем случае
x+23+2=y+34+3=z-11-1,
x+25=y+37=z-10-канонические уравнения ребра АВ.
Замечание: форма записи канонических уравнений прямой является условной и в ней не деление на ноль, а отношение.
б) грань АВС образована векторами АВ и АC, причем
АВ=5;7;0, АC=7;6;0 .
Найдем векторное произведение этих векторов
AB×AC=ijk570760=7060i-5070j+5776k=
=0∙i-0∙j-19∙k.
(такой определитель лучше вычислять разложением по элементам первой строки).
Используя геометрическое свойство векторного произведения, получаем площадь грани АВС:
S=12AB×AC=1202+02+-192=12-192=192.
В качестве нормального вектора плоскости АВС можно взять векторное произведение , но лучше предварительно его сократить на (-19) т.е. получаем
n=(0;0;1). Уравнение плоскости АВС найдем как уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору :
.
В качестве точки М0 можно взять любую из точек плоскости АВС, например точку А, тогда получаем
0∙x+2-0y+3+1∙z-1=0
z-1=0 общее уравнение плоскости АВС.
в) длину высоты SH можно найти как расстояние от точки S до плоскости АВС
. Для этого общее уравнение плоскости z-1=0 приведем к нормальному виду. Т.к. n=(0;0;1) нормальный вектор плоскости,
n=02+02+12=1-его длина,
11∙z-1=0, z-1=0 нормальное уравнение плоскости.
Подставим координаты точки S( 1; - 3; 0 ) в полученное уравнение и возьмем модуль полученного числа
SH=h=110+0+1=1=1
Так как n=(0;0;1) нормальный вектор плоскости АВС, то он является направляющим вектором высоты SH и уравнения высоты можно найти как уравнения прямой, проходящей через заданную точку = S(1;-3;0) параллельно заданному вектору =n=(0;0;1):
.
В нашем случае
x-10=y-(-3)0=z-01,
x-10=y+30=z-01 канонические уравнения высоты SH.
г) проекцией вершины S на плоскость АВС является точка Н, которую можно найти как точку пересечения плоскости АВС и прямой SH. Для этого канонические уравнения прямой SH приведем к параметрическим уравнениям
x-10=y+30=z-01=t,
x-10=ty+30=tz-01=t ⇒ x=1,y=-3,z=t.
Подставим эти уравнения в уравнение плоскости АВС:
z-1=0 ⇒ t-1=0 ⇒ t=1
Полученное значение t подставим в параметрические уравнения:
x=1,y=-3,z=1.
Т.е. H1;-3;1.
д) проекцией ребра АS на грань АВС является прямая АН, уравнения которой можно найти как уравнения прямой проходящей через две заданные точки:
.
x-(-2)1-(-2)=y-(-3)-3-(-3)=z-11-1,
x+23=y+30=z-10-канонические уравнения проекции.
е) уравнения искомой прямой можно найти как уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору AB=n,m,p т.е.
.
В нашем случае получаем
x-15=y+37=z0 .
ж) вектор n=(0;0;1) является нормальным вектором искомой плоскости
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
