В пирамиде треугольник - основание пирамиды

Сделаем чертеж:
Найдем:
1) длина ребра
Длину ребра вычислим как длину соответствующего вектора . Найдем координаты вектора :
Найдем его модуль:
2) угол между ребрами и
Угол между ребрами и найдем как угол между соответствующими векторами с помощью скалярного произведения векторов по формуле:
Найдем координаты векторов и :
Найдем скалярное произведение векторов и :
Найдем модули векторов и :
Итого, косинус угла между векторами:
3) угол наклона ребра к основанию пирамиды;
Углом между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Для вычисления угла наклона ребра к плоскости воспользуемся формулой:
, где - направляющий вектор прямой , - нормальный вектор плоскости .
Направляющий вектор прямой был вычислен ранее:
Нормальный вектор плоскости найдем как векторное произведение векторов и .
Найдем координаты векторов и :
Найдем их векторное произведение:
Найдем скалярное произведение векторов и :
Найдем модули векторов и :
Итого, синус искомого угла равен:
4) площадь основания пирамиды;
Согласно геометрическому смыслу модуля векторного произведения векторов, имеем
Нормальный вектор плоскости и его модуль были вычислен ранее
,
Таким образом,
5) объем пирамиды
В соответствии с геометрическим смыслом модуля смешанного произведения векторов, имеем:
Найдем смешанное произведение векторов :
Итого, .
6) уравнение прямой
Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:
Подставляем координаты точек:
7) уравнение плоскости ;
Ранее было вычислено векторное произведение векторов и