В партии из N=131 000 деталей ровно M=3 275 бракованных. Дайте ответы на следующие вопросы (запишите формулы и сделайте вычисления с подробными объяснениями):
а) какова вероятность того, что наудачу выбранная деталь из партии окажется бракованной?
б) какова вероятность того, что наудачу выбранная деталь из партии окажется НЕ бракованной?
в) какова вероятность того, что из K1=254 случайно выбранных из партии деталей ровно L1=16 окажется бракованными?
г) какова вероятность того, что из K2=308 случайно выбранных из партии деталей не более L2=10 окажется бракованными?
д) какова вероятность того, что из K3=822 случайно выбранных из партии деталей не менее L3=11 окажется НЕ бракованными?
е) из партии выбрано случайно K4=595 деталей, из них L4=73 оказалось бракованными; какова вероятность, что больше в выборке нет бракованных деталей?
ж) из партии выбрано K5=1 139 деталей, и которых не менее L5=103 оказалось бракованными; какова вероятность того, что в последующей выборке из K6=506 деталей бракованных окажется не более L6=12 (предыдущая выборка в партию не возвращается)?
Числовые данные:
N=131 000, M=3 275, K1=254, L1=16, K2=308, L2=10, K3=822, L3=11, K4=595, L4=73, K5=1 139, L5=103, K6=506, L6=12.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
A) Из N деталей можно выбрать один N способами, а один бракованный M способами, следовательно
б) Тут имеем событие, противоположенное событию из пункта а), => p=1-M/N= (N-M) /N=0.975.
в) Ясно, что если L1 > M, то невозможно, чтобы из K1 случайно выбранных деталей ровно L1 вышло бракованными. Пусть L1≤M. Из N деталей можно выбрать K1 n=CNK1 способами.
L1 бракованные детали надо выбрать из M, а остальные K1-L1 небракованные из N-M не бракованных. Количество выборов в 1-ом случае равно CML1, во втором случае CN-MK1-L1 =>
По принципу умножения получим число выборов, в которых ровно L1 бракованные:
m=CML1∙CN-MK1-L1 => p=mn=CML1∙CN-MK1-L1CNK1=C327516∙C127725238C131000254=2,46×10-9.
г) Если L2≥M, то ясно что в любой выборке не более M => не более L2 элементов не бракованные
. Пусть L2 < M. Из N элементов можно выбрать K2, K2 , n=CnK2 способами. Пусть
0≤l ≤L2 любое целое число. Пусть X - число бракованных элементов среди выбранных K2. Найдем Px=l. Из M бракованных элементов можно выбрать l CMl способами, из N-M не бракованных можно выбрать остальные CN-MK2-l способами => по принципу умножения получим:
Px=l=CMlCN-MK2-lCNK2, => Px≤L2=l=0L2Px=l=1CNK2l=0L2CMlCN-MK2-l=2.39∙10-23,
если же L2≥M, то Px≤L2=1.
д) Если L3>N-M, то такое не возможно=> Px≥L3=0.
L3≤N-M.Пусть 0≤l ≤L3.
Аналогично получим:
Px=l=CMlCN-MK3-lCNK3, => Px≥L3=l=L3N-MPx=l=1CNK3l=L3N-MCMlCN-MK3-l.
е) Тут речь идет о условной вероятности Px=L4 | x≥L4. Аналогично пункта д) и используя формулу Байеса, получим:
Px=L4 | x≥L4=Px=L4∩(x≥L4)Px≥L4=Px=L4Px≥L4=CML4CN-MK4-L4l=L4N-MCMlCN-MK4-l.
ж) В данной задаче проведено два эксперимента:
I
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
