В некоторой викторине участнику последовательно предлагают 30 вопросов

1) Пусть участник верно ответил на х вопросов, неверно – на y вопросов, и пропустил соответственно z=30-(x+y) вопросов, где x, y и z – целые числа от 0 до 30. Тогда для полученных очков можно составить уравнение:
1000x-750y=11250, отсюда:
4x-3y=45;
3y=4x-45;
y=4x3-15 . 1
2) Из уравнения (1) следует, что при целых значениях x значение y также будет целым, если числитель дроби делится на 3, т. е.:
4x≡0 mod 3.
Отсюда, поскольку числа 3 и 4 взаимно просты, то по свойству 5 получим:
x≡0 mod 3.
Следовательно:
x=3k, k∈Z;
y=4x3-15=4∙3k3-15=4k-15;
z=30-x+y=30-3k+4k-15=45-7k.
Итак:
x=3k;
y=4k-15;
z=45-7k.
Легко найти все целочисленные решения этих уравнений, принадлежащих промежутку [0;30]:
k=4⇒x;y;z=12;1;17;
k=5⇒x;y;z=15;5;10;
k=6⇒x;y;z=18;9;3.
Наибольшее значение z получим как раз в первом случае:
zmax=17.
Ответ: 17 вопросов.