В колебательном контуре (рис 1 6) индуктивность катушки L = 2
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
В колебательном контуре (рис. 1.6) индуктивность катушки L = 2,5мГн, а емкости конденсаторов С1=2,0мкФ и С2 = 3,0мкФ. Конденсаторы зарядили до напряжения U = 180 В и замкнули ключ К. Найти период собственных колебаний и амплитудное значение тока через катушку.
Дано:
L = 2,5 мГн =2,510-3 Гн
С1 = 2,0 мкФ = 210-6 Ф
С2 = 3,0 мкФ = 310-6 Ф
U = 180 В
T0 = ?
Im = ?
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
T0 = 7,0210-4 с; Im = 8,05 А.
Решение
Запишем 2 правило Кирхгофа для каждого контура:
UC1+UL=0.
UL+UC2=0.
Вычитая из одного уравнения другое, получим:
UC1=UC2.
Найдем заряды на конденсаторах:
q1=C1UC1;
q2=C2UC2;
По закону сохранения заряда:
q0=q1+q2=C1UC1+C2UC2=C1+C2U.
Здесь учтено, что напряжение на конденсаторах UC1=UC2=U.
Параллельным называется соединение группы конденсаторов, при котором их начала присоединяются к одному узлу цепи, а концы – к другому
Таким образом, поэтому данную схему можно заменить схемой с одним конденсатором, заряд которого определяется по формуле выше, а емкость рассчитывается по формуле:
C=C1+C2.
Запишем второе правило Кирхгофа для этого момента времени:
UC+UL=0.
Здесь UC=U.
Заряд на конденсаторе q связан с напряжением на нем UC формулой:
UC=qC.
Чтобы найти силу тока I, нужно взять производную по времени от заряда:
I=q.
Здесь точка над величиной означает дифференцирование по времени
.
Напряжение на индуктивности UL:
UL=LI=Lq.
Подставим эти выражения для напряжений в уравнение:
qC+Lq=0;
q+1LCq=0.
Обозначим:
02=1LC.
Здесь 0 –собственная круговая частота колебательного контура.
Период колебаний:
T0=20=2LC=2LC1+C2.
Получим уравнение:
q+02q=0.
Обозначим
x=q;
Получим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка в каноническом виде:
x+02x=0.
Для решения этого уравнения перейдем к соответствующему уравнению в комплексном пространстве:
y+02y=0.
Чтобы совершить обратный переход, требуется взять от данного уравнения действительную часть:
Rey=x.
Rey=x.
Запишем соответствующее характеристическое уравнение:
2+02=0;
=±-02
Имеем два корня:
1=+i0;
2=-i0;
Тогда общее решение:
yt=B1e1t+B2e2t=B1ei0t+B2e-i0t.
Здесь B1 и B2 в общем случае комплексные постоянные, которые можно представить в виде:
B1=12Aei;
B2=12Ae-i.
Здесь A и – действительные числа.
Имеем:
yt=12Aeiei0t+12Ae-ie-i0t=12Aei0t++e-i0t+.
Я терял ниже мнимую единицу при печати в выражении ниже, сейчас не должно быть возражений.
Используя формулы Эйлера, получим:
yt=12Acos0t++isin0t++cos0t+-i sin0t+;
yt=Acos0t+.
Вернемся к старым обозначениям:
x=Rey=ReAcos0t+=Acos0t+;
q=x;
qt=Acos0t+.
Найдем силу тока I:
It=qt=-A0sin0t+.
По условию, в начальный момент времени (t = 0) заряд на конденсаторе q0=q0, а тока в цепи нет (I0=0), тогда:
q0=Acos00+;
0=A0sin00+.
Так как A≠0, то из второго уравнения:
0=A0sin;
=0
Из первого уравнения:
q0=Acos0;
A=q0.
Таким образом, окончательно:
qt=q0cos0t;
It=-q00sin0t=-Imsin0t.
Здесь Im – амплитуда силы тока через катушку:
Im=q00=C1+C2U1LC1+C2=UC1+C2L.
Подставим числа и вычислим требуемые величины:
T0=2LC1+C2=22,510-3210-6+310-6=510-4=7,0210-4 с;
Im=UC1+C2L=180210-6+310-62,510-3=185=8,05 А.
Ответ: T0 = 7,0210-4 с; Im = 8,05 А.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
