В коаксиальной линии изображенной на рис 1 1 возбуждено монохроматическое электромагнитное поле

Задано:Hφm=I02πrexp−ikz(1.1)
Hrm=Hzm=0(1.2)
Нужно определить комплексные амплитуды проекций вектораE: Eφm,Erm,Ezm.
Запишем уравнения Максвелла для монохроматического электромагнитного поля , т.е. изменяющегося во времени по гармоническому закону с частотой ω=2πf, в цилиндрических координатах (см. рис. 1.1) с учетом отсутствия потерь в среде (σ=0):
1r⋅∂Hzm∂φ+iβHφm=iωεaErm;(1.3)
−∂Hzm∂r−iβHrm=iωεaEφm;(1.4)
1r⋅∂∂rrHφm−1r⋅∂Hrm∂φ=iωεaEzm;(1.5)
1r⋅∂Ezm∂φ+iβEφm=−iωμaHrm;
∂Ezm∂r+iβErm=iωμaHφm;
1r⋅∂∂rrEφm−1r⋅∂Erm∂φ=−iωμaHzm,
где β– коэффициент фазы;
μa– абсолютная магнитная проницаемость среды;
εa– абсолютная диэлектрическая проницаемость среды.
Для нахождения Eφm,Erm,Ezmвоспользуемся первыми тремя уравнениями.
Из условия (1.2) и (1.4) получаем:0=iωεaEφm,следовательно Eφm=0.
Из (1.2) и (1.3) получаем: βHφm=ωεaErm,следовательно
Erm=βHφmωεa(1.6)
Из γ=k2−β2 и условия γ=0получим:
β=k=ωμaεa(1.7)
(1.6) с учетом (1.7) примет вид: Erm=ωμaεaHφmωεa=μaεaHφm,или с учетом (1.1)
Erm=ZcHφm=ZcI02πrexp−ikz,
где Zc=μaεa– волновое сопротивление среды.
Из (1.2) и (1.5) получаем: 1r⋅∂∂rrHφm=iωεaEzm,или с учетом (1.1)
Ezm=1iωεar⋅∂∂rI02πexp−ikz=0.
Следовательно комплексные амплитуды проекций вектораE:
Eφm=0;(1.8)
Erm=ZcI02πrexp−ikz;(1.9)
Ezm=0.(1.10)
2) Распространение поля вдоль координаты z выражается наличием в формулах, описывающих электромагнитную волну, множителя exp−ikz,при этом коэффициент k должен быть положительным.
Так как k=ωμaεaположителен, когда ω=2πf>0,то диапазон частот, в котором рассматриваемое поле представляет собой бегущую вдоль оси z волну: 0<f<+∞.
3) Известно, что Hφt=ReHφmexpiωt,следовательно, воспользовавшись преобразованием по формуле Эйлера expix=cosx+isinxи (1.1), получим:
Hφt=ReI02πrexpiωt−ikz=ReI02πrcosωt−kz+isinωt−kz,то есть
Hφt=I02πrcosωt−kz.(1.11)
Аналогично из (1.2) имеем:
Hrt=Hzt=0.(1.12)
Из (1.8) и (1.10) имеем:
Eφt=Ezt=0.(1.13)
Из (1.9) имеем:
Ert=ReZcI02πrexpiωt−ikz=ReZcI02πrcosωt−kz+isinωt−kz,то есть
Ert=ZcI02πrcosωt−kz.(1.14)
4) Представим в (1.11) и (1.14) k в виде k=ωμaεa=2πλ,где λ– длина волны электромагнитного излучения в среде, тогда для случая t=0, r=R1+R22 с учетом четности косинуса получаем:
Hφ0=I0πR1+R2cos2πzλ;(1.15)
Er0=ZcI0πR1+R2cos2πzλ.(1.16)
Для t=T4, r=R1+R22из (1.11) и (1.14) с учетом того, что
cosωT4−2πλ=cos2πfT4−2πλ=cos2π1T⋅T4−2πλ=cosπ2−2πλ=sin2πzλ,
получаем:
HφT4=I0πR1+R2sin2πzλ;(1.17)
ErT4=ZcI0πR1+R2sin2πzλ.(1.18)
Вычислим значения коэффициентов перед синусами и косинусами, учитывая, что μa=μrμ0и εa=εrε0:
I0πR1+R2=0,0123,14160,0021+0,00975=0,322Aм;
Zc=μaεa=μrμ0εrε0=1⋅1,256⋅10−61,5⋅8,854⋅10−12=307,52Ом;(1.19)
ZcI0πR1+R2=307,52⋅0,322=99,13Bм.
где ε0=8,854⋅10−12 Фм– электрическая постоянная;
μ0=1,256⋅10−6НA2– магнитная постоянная.
Вычислим длину волны из (1.7) и f=ω2π:
λ=2πk=2πωμaεa =1fμrμ0εrε0 =13⋅1061⋅1,256⋅10−6⋅1,5⋅8,854⋅10−12=81,61м.
Графики функций мгновенных значений HφиErот координаты z при r=R1+R22, φ=0для моментов времени t=0и t=1Tв диапазоне координат0≤z≤2λ.представлены на рис