В электрической цепи с постоянной ЭДС происходит коммутация

1. Классический метод
1.1. Определим параметры цепи до коммутации
Сопротивление конденсатора при постоянном токе бесконечно велико, поэтому i1(0-)= 0 A.
Сопротивление индуктивности при постоянном токе бесконечно мало.
Токи в ветвях:
i2(0-) = ER1 +R2+R4 = 5277+74+25 =0,295 A
Напряжение на конденсаторе до коммутации:
uC(0-) = i2(0-) * R4 = 0,295*25 = 7,39 B.
1.2. Определим параметры цепи в момент коммутации
По правилам коммутации:
i2(0) = i2(0-) = 0,295 A .
uC(0) = uC(0-) = 7,39 B .
Рассматриваемая цепь после коммутации изображена на рисунке  2.
Рисунок 2 – Схема цепи после коммутации
Составим уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа
iet - i1t - iLt = 0
iet *(R1 +R2) + i1t*R3 +uc(t) = E
-uc(t) - i1t*R3 + uL(t) = 0
После подстановки числовых значений система уравнений для
t = 0+примет вид
ie0+ - i10+ – 0,295 = 0
ie0+ *(77+74) + i1t*32 +7,39 = 52
-7,39 - i1+*32 + uL(+) = 0
i10+ = 0 A ; uL(0+) = 7,39 B
Из уравнения связи
i1(t) = C*duc(t)dt
Отсюда
ductdt(0+) = i1(0+) C = 0 72*10-6 = 0 В/c
Из уравнения связи
uL(t) = L*diL(t)dt
Отсюда
diLtdt(0+) = uL(0+) L = 7,39 46*10-3 = 161 A/c
Продифференцируем систему
die(t)dt - di1(t)dt - diL(t)dt = 0
die(t)dt *(R1 +R2) + di1(t)dt*R3 +duc(t)dt = 0
-duc(t)dt - di1(t)dt*R3 + duL(t)dt = 0
После подстановки числовых значений система уравнений для
t = 0+ примет вид
dietdt(0+) – di1tdt(0+) – 161 = 0
dietdt(0+) *(77+74) + di1tdt(0+)*32 +0 = 0
-0 - di1tdt(0+)*32 + duLtdt(0+) = 0
di1tdt(0+) = -132,5 A/c
1.3 . В принужденном режиме ток в ветви с емкостью равен нулю, т.к. сопротивление конденсатора при постоянном токе бесконечно велико:
i1пр = 0 A.
1.4. Составим характеристическое уравнение цепи для послекоммутационной цепи методом входного сопротивления (см. рис. 3) относительно зажимов источника ЭДС.
Рисунок 3 – Схема цепи для составления характеристического уравнения методом входного сопротивления
Z(p) = R1 +R2 + (R3+1pC)*pLR3+1pC+pL
Подставляя числовые значения и упростив дробь, получим
.
Z(p)= 606100p2+394000p+1510000003,312p2 +203400p+1000000
Характеристическое уравнение получим при: Z(p)=0
606100p2+394000p+151000000 = 0
Корни характеристического уравнения:
p1 = -325+j379 c-1
p2 = -325-j379 c-1
Так как корни характеристического уравнения комплексно – сопряжённые, то имеем колебательный переходный процесс.
1.5. Определим зависимость от времени тока ёмкости.
Зависимость тока ёмкости от времени можно записать как сумму принужденной и свободной составляющих:
i1(t) = i1пр + i1св(t)
Для цепей, характеристические числа которых вещественные отрицательные разные, свободная составляющая определяется в виде
i1св(t) =A*e-δt *sin(ωсв t+ ψ)
где δ = 325 - коэффициент затухания
ωсв = 379 c-1- угловая частота свободных колебаний
Таким образом, в выражении необходимо определить постоянные интегрирования A и ψ