Перейдем к дискретному вариационному ряду, выбрав в качестве вариант середины интервалов:
xi
30 50 70 90 110
ni
32 56 92 120 100
Построим полигон частот – ломанную с вершинами в точках xi;ni
Для вычисления характеристик составим вспомогательную расчетную таблицу:
№
xi
ni
xi∙ni
(xi-x)
(xi-x)2
(xi-x)2∙ni
1 30 32 960 -50 2500 80000
2 50 56 2800 -30 900 50400
3 70 92 6440 -10 100 9200
4 90 120 10800 10 100 12000
5 110 100 11000 30 900 90000
400 32000
241600
Выборочное среднее:
x=1n∙xi∙ni=32000400=80
Выборочная дисперсия:
DВ=1n∙xi-x2∙ni=241600400=604
Среднеквадратическое отклонение:
σ=DВ=604=24,58
Исправленная дисперсия:
S2=nn-1∙DВ=400399∙604=605,51
Исправленное среднеквадратическое отклонение:
s=S2=605,51=24,61
Доверительный интервал для генерального среднего найдем по формуле:
x-tγ∙sn<a<x-tγ∙sn
tγ найдем, исходя из того, что:
2Фtγ=γ => Фtγ=γ2=0,475 =>
tγ=1,96
Тогда доверительный интервал:
80-1,96∙24,61400<a<80+1,96∙24,61400
80-2,41<a<80+2,41
77,59<a<82,41
Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения найдем из неравенства:
s1-q<σ<s1+q
q400;0,95≈0,05
24,61∙0,95<σ<24,61∙1,05
23,38<σ<25,84
Выдвинем гипотезу H0 – генеральная совокупность подчинена нормальному закону распределения с параметрами:
a≈x=80, σ≈s=24,61
Вычислим теоретические вероятности и частоты попадания в каждый из интервалов по формулам:
pi=Фxi+1-xs-Фxi-xs
ni'=npi
Составим вспомогательную расчетную таблицу:
xi
xi+1
xi-xs
xi+1-xs
Фxi-xs
Фxi+1-xs
pi
ni'
-∞
40 -∞
-1,63 -0,5 -0,448 0,052 20,82
40 60 -1,63 -0,81 -0,448 -0,2918 0,1562 62,46
60 80 -0,81 0 -0,2918 0 0,2918 116,72
80 100 0 0,81 0 0,2918 0,2918 116,72
100 ∞
0,81 ∞
0,2918 0,5 0,2082 83,28
Вычислим значение критерия:
χнабл2=i=16(ni-ni')2ni'
Составим еще одну вспомогательную таблицу:
№ xi
xi+1
ni
ni'
ni-ni'
(ni-ni')2
(ni-ni')2ni'
1 -∞
40 32 20,82 11,18 124,99 6
2 40 60 56 62,46 -6,46 41,73 0,67
3 60 80 92 116,72 -24,72 611,08 5,24
4 80 100 120 116,72 3,28 10,76 0,09
6 100 ∞
100 83,28 16,72 279,56 3,36
15,36
По таблице критических значений χ2 при уровне значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=5-2-1=2, находим:
χкрит2=5,99
Так как χнабл2>χкрит2, то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности отвергается.
Предположив, что выборка распределена нормально, построим функцию плотности распределения:
Функция плотности распределения:
fx=1σ2π∙e-(x-a)2σ2=124,612π∙e-(x-80)21211,02
Построим на одном графике гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую
В качестве оснований столбцов гистограммы выберем частичные интервалы, а высотам будет соответствовать плотность:
wi=nin∙h, h=20
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
