В точке (1 1) найти grad z и производную в направлении вектора

Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:
gradz=dzdxi+dzdyj
Находим частные производные:
dzdx=exyx'=yexy
dzdy=exyy'=xexy
dzdx1;1=1*e1*1=e
dzdy1;1=1*e1*1=eТогда величина градиента равна:
gradz=yexyi+xexyj
Найдем градиент в точке (1;1)
gradzA=ei+ejМодуль grad(z) - наибольшая скорость возрастания функции:
grad(z)=dzdx1;12+dzdy1;12
gradz1;1=e2+e2=2eНаправление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:
cosα=dzdxgradz1;1
cosβ=dzdygradz1;1
cosα=e2e=12
cosβ=e2e=12
Найдем производную в точке (1; 1) по направлению вектора a2, -1.
dzda=dzdxcosα+dzdycosβНайти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:
cosα=xa; cosβ=yaМодуль вектора |a| равен:
a=x2+y2=22+-12=5тогда направляющие косинусы:
cosα=25; cosβ=-15
Для вектора a имеем:
dzda=e*25+e*-15=55e