В собственном полупроводнике ширина запрещенной зоны (эВ)

Концентрация свободных электронов (электронов проводимости) в собственном полупроводнике равна
1) n = (NcNv)1/2exp-εg/2kT,
где
2) Nc= ( 2πkTmnh2)3/2 – эффективная плотность состояний в зоне проводимости,
3) Nv= ( 2πkTmph2)3/2 – эффективная плотность состояний в валентной зоне,
mn – эффективная масса электронов зоны проводимости,
mp – эффективная масса дырок валентной зоны,
T – термодинамическая температура, K
k = 1,38∙10-23 Дж/К – постоянная Больцмана,
h = 6,625∙10-34 Дж∙с – постоянная Планка,
εg – ширина запрещенной зоны,
то есть, она зависит от температуры по закону
4) n ~ T 3/2·exp-εg/2kT,
где экспоненциальный множитель доминирует.
Тогда, при повышении температуры на ∆T относительно начальной температуры T = 300 К концентрация электронов проводимости увеличится в
5) n(T+∆T)n(T) ≅ expεg2kT-εg2kT+∆T=expεg2kT1- TT+∆T раз.
Для n(T+∆T)n(T)=3 находим из (5):
6) lnnT+∆TnT=ln3= εg2kT·1-TT+∆T,
или
7) 1-TT+∆T= 2kTεg·ln3,
или
8) TT+∆T= 1- 2kTεg·ln3,
или
9) 1+ ∆TT= 11- 2kTεg·ln3,
откуда
10) ∆T=T·11- 2kTεg·ln3-1.
Для температуры Т = 300 К находим
kT = 1,38∙10-23∙300 Дж = 1,38∙10-23∙300/(1,6∙10-19) эВ = 2,59∙10-2 эВ