В отделе детской обуви универмага в течение дня были проданы сандали следующих размеров: 17, 15, 16, 17, 18, 17, 16, 17, 19, 18, 17, 16, 17, 20, 16, 22, 24, 28, 30, 33, 31, 15, 36, 34, 29, 27, 31, 35, 14, 15, 26, 28, 25. Составьте по этим данным вариационный ряд. Постройте гистограмму распределения. Найдите среднее, медиану, моду, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Построим интервальный вариационный ряд распределения.
Для построения интервального ряда необходимо:
определить величину частичных интервалов;
определить ширину интервалов;
установить для каждого интервала его верхнюю и нижнюю границы;
сгруппировать результаты наблюдений.
1. Приблизительно число интервалов k можно оценить исходя только из объема выборки n по формуле Стержеса:
k = 1 + 3,32·lg n = 1 + 3,32·lg 33 ≈ 6.
2. Обычно предпочтительны интервалы одинаковой ширины. Для определения ширины интервалов h вычисляют размах варьирования R - значений выборки: R = xmax - xmin, а ширину каждого из интервалов h определяют по следующей формуле: h = R/k.
Объем выборки n = 33.
Минимальное значение хmin = 14
Максимальное значение хmах = 36
Размах выборки R = хmax – хmin = 36 – 14 = 22.
Тогда ширина интервала: .
3. Нижняя граница первого интервала xh1 выбирается так, чтобы минимальная варианта выборки xmin = 14 попадала примерно в середину этого интервала: xh1 = xmin - 0,5·h = 12. Промежуточные интервалы получаем прибавляя к концу предыдущего интервала длину частичного интервала h = 4.
У нас получатся такие интервалы:
(12; 16]; (16; 20]; (20; 24]; (24; 28]; (28; 32]; (32; 36].
4
. В соответствии со шкалой интервалов производится группирование значений признака - для каждого частичного интервала вычисляется сумма частот ni вариант, попавших в i-й интервал. Единица, обладающая двойным значением, относится к той группе, где она выступает в роли верхней границы. Заполним таблицу:
Таблица 1
№ инт. Интервал Частота
ni Накопленная (кумулятив-ная) частота Плотность частоты
левая граница правая граница
1 12 16 8 8 2
2 16 20 10 18 2,5
3 20 24 2 20 0,5
4 24 28 5 25 1,25
5 28 32 4 29 1
6 32 36 4 33 1
Получили вариационный интервальный ряд.
- верно, сумма частот равна объему выборки.
5. Графическое изображение непрерывного признака – это гистограмма.
Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями длиной h и высотами ni /h (плотность частоты), называется гистограммой частот. Геометрический смысл гистограммы: площадь ее равна сумме всех частот или объему выборки. Значения плотности частоты рассчитываем в последнем столбце таблицы 1.
6. Найдем средний размер проданной обуви. Для этого запишем дискретный вариационный ряд, вычислив середину каждого интервала:
хi 14 18 22 26 30 34
ni 8 10 2 5 4 4
Для нахождения числовых характеристик выборки составляем расчетную таблицу:
Таблица 2
номер
интервала середина
интервала
хi частота
ni
niхi
ni хі2 ni хі3 ni хі4
1 14 8 112 1568 21952 307328
2 18 10 180 3240 58320 1049760
3 22 2 44 968 21296 468512
4 26 5 130 3380 87880 2284880
5 30 4 120 3600 108000 3240000
6 34 4 136 4624 157216 5345344
Сумма 33 722 17380 454664 12695824
νк
21,88 526,7 13777,7 384721,9
Выборочная средняя: , n = 33.
Выборочная дисперсия:
Выборочное среднее квадратичное отклонение – это корень квадратный из дисперсии:
.
Несмещенная оценка дисперсии: 47,99 = 49,48.
Соответствующее исправленное среднее квадратичное отклонение:
7,035.
Асимметрией называют отношение центрального момента 3-го порядка к кубу среднего квадратичного отклонения: АS* = .
Эксцесс - это характеристика, которая определяется равенством:
Еk* = – 3,
где –центральный момент 4-го порядка.
Обозначим через νі – начальный момент i-го порядка
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
