В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды

Длина ребра AB.
Это расстояние между точками A1, -1, 0 и B2, 3, 1. Тогда
lAB=xB-xA2+yB-yA2+zB-zA2=
=2-12+3--12+1-02=12+42+12=18=32.
Б) Косинус угла между векторами AB и AC.
cosAB, AC=AB, ACAB⋅AC.
Так как
AB=xB-xA, yB-yA, zB-zA=2-1, 3--1, 1-0=1, 4, 1,
AC=xC-xA, yC-yA, zC-zA=-1-1, 1--1, 1-0=-2, 2, 1,
то
AB, AC=1⋅-2+4⋅2+1⋅1=7,
AB=lAB=32,
AC=-22+22+12=9=3.
Следовательно,
cosAB, AC=732⋅3=7218.
В) Уравнение ребра AB.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
x-xAxB-xA=y-yAyB-yA=z-zAzB-zA.
Тогда уравнение прямой AB имеет вид:
x-12-1=y--13--1=z-01-0,
AB: x-11=y+14=z1.
Г) Уравнение грани ABC.
Уравнение грани ABC – это уравнение плоскости, проходящей через три точки A1, -1, 0, B2, 3, 1, C-1, 1, 1, которое имеет вид:
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=0.
Тогда
x-1y--1z-02-13--11-0-1-11--11-0=0,
x-1y+1z141-221=0,
x-1⋅4⋅1+y+1⋅1⋅-2+z⋅1⋅2-z⋅4⋅-2-
-y+1⋅1⋅1-x-1⋅1⋅2=0,
2x-1-3y+1+10z=0,
ABC: 2x-3y+10z-5=0.
Д) Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.
Уравнение прямой DH, проходящей через точку D4, -3, 5 перпендикулярно плоскости ABC имеет вид
x-xDm=y-yDn=z-zDp,
где n=m ,n, p – вектор нормали плоскости ABC, то есть n=2, -3, 10 . Тогда
DH: x-42=y+3-3=z-510.
Пусть точка H∈ABC. Тогда длина высоты DH определяется по формуле
lDH=ρD, ABC=2xD-3yD+10zD-522+-32+102=2⋅4-3⋅-3+10⋅5-54+9+100=
=62113.
Е) Координаты векторов e1=AB, e2=AC, e3=AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему.
Имеем
e1=AB=1, 4, 1,
e2=AC=-2, 2, 1,
e3=AD=xD-xA, yD-yA, zD-zA=4-1, -3--1, 5-0=
=3, -2, 5.
Эти вектора образуют линейно независимую систему, если определитель, составленный из их координат не равен нулю.
Так как
1-2342-2115=1⋅2⋅5+-2⋅-2⋅1+3⋅4⋅1-3⋅2⋅1-
--2⋅4⋅5-1⋅-2⋅1=10+4+12-6+40+2=62≠0,
то e1, e2, e3 линейно независимы.
Ж) Координаты вектора MN, где M и N – середины ребер AD и BC соответственно.
Найдем координаты точки M:
xM=xA+xD2=1+42=52,
yM=yA+yD2=-1+-32=-2,
zM=zA+zD2=0+52=52.
Итак, M52, -2,52.
Найдем координаты точки N:
xN=xB+xC2=2+-12=12,
yN=yB+yC2=3+12=2,
zN=zB+zC2=1+12=1.
Итак, N12, 2, 1.
Следовательно вектор MN имеет вид
MN=xN-xM, yN-yM, zN-zN=12-52, 2--2, 1-52=-2, 4, -32.
З) Разложение вектора MN по базису e1, e2, e3.
Пусть
MN=α1e1+α2e2+α3e3.
Тогда
-2, 4, -32=α11, 4, 1+α2-2, 2, 1+α33, -2, 5,
-2, 4, -32=α1-2α2+3α3, 4α1+2α2-2α3, α1+α2+5α3.
В результате получаем систему
α1-2α2+3α3=-2,4α1+2α2-2α3=4,α1+α2+5α3=-32