Устройство состоящее из пяти независимо работающих элементов

Определим вероятность того, что из пяти независимо работающих элементов откажут три элемента, используя формулу Бернулли:
Pnm=Cnmpmqn-m
В нашем случае:
m=3 – откажут три элемента;
n=5 – количество элементов;
p=0,2 – вероятность отказа каждого элемента;
q=1-p=0,8 – вероятность того, что элемент будет работать.
Получим:
P53=C53×(0,2)3×(0,8)5-3=5!3!×5-3!×0,008×0,64=0,0512
Вероятность того, что из пяти независимо работающих элементов откажут не менее 4 элементов (то есть или 4, или 5) будет равна:
P5k≥4=P54+P55=C54×(0,2)4×(0,8)5-4+C55×(0,2)5×(0,8)5-5=
=5!4!×5-4!×0,0016×0,8+5!5!×5-5!×0,00032×1=0,00672
Вероятность того, что из пяти независимо работающих элементов откажут менее 4 элементов (то есть или 0, или 1, или 2, или 3) будет равна:
P5k<4=P50+P51+P52+P53=C50×(0,2)0×(0,8)5+
+C51×(0,2)1×(0,8)5-1+C52×(0,2)2×(0,8)5-2+C53×(0,2)3×(0,8)5-3
=5!0!×5-0!×1×0,32768+5!1!×5-1!×0,2×0,4096+
+5!2!×5-2!×0,04×0,512+5!3!×5-3!×0,008×0,64=0,99328
Или вероятность того, что из пяти независимо работающих элементов откажут менее 4 элементов можно определить по формуле:
P5k<4=1-P5k≥4=1-0,00672=0,99328
ОТВЕТ:
а) P53=0,0512
б) P5k≥4=0,00672
в) P5k<4=0,99328