Убедиться что уравнение Fx y z=0 в окрестности точки M0 неявно задает функцию двух переменных z=zx

F=arcsin1+x+y+z+2∙x2+2∙y2-z2-π2M011-2
Подставляем для проверки координаты точки M0
FM0=arcsin1+1+1+-2+2∙12+2∙12--22-π2=arcsin3-2+2∙1+2∙1-4-π2=arcsin1+2+2-4-π2=arcsin1-π2=π2-π2=0
Найдем частные производные функции F. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле
∂z∂x=-∂F∂x∂F∂z, ∂z∂y=-∂F∂y∂F∂z
∂F∂x=4∙x+11-1+x+y+z2∙12∙1+x+y+z==4∙x+11-1+x+y+z∙12∙1+x+y+z=4∙x+12∙1+x+y+z∙-x-y-z=8∙x∙1+x+y+z∙-x-y-z+12∙1+x+y+z∙-x-y-z
∂F∂y=8∙y∙1+x+y+z∙-x-y-z+12∙1+x+y+z∙-x-y-z
∂F∂z=-4∙z∙1+x+y+z∙-x-y-z+12∙1+x+y+z∙-x-y-z
∂z∂x=-8∙x∙1+x+y+z∙-x-y-z+12∙1+x+y+z∙-x-y-z-4∙z∙1+x+y+z∙-x-y-z+12∙1+x+y+z∙-x-y-z=8∙x∙1+x+y+z∙-x-y-z+14∙z∙1+x+y+z∙-x-y-z+1
∂z∂y=-8∙y∙1+x+y+z∙-x-y-z+12∙1+x+y+z∙-x-y-z-4∙z∙1+x+y+z∙-x-y-z+12∙1+x+y+z∙-x-y-z=8∙y∙1+x+y+z∙-x-y-z+14∙z∙1+x+y+z∙-x-y-z+1
Найдем значения частных производных в точке M0:
∂z∂x=8∙1∙1+1+1+-2∙-1-1--2+14∙-2∙1+1+1+-2∙-1-1--2+1=8∙3-2∙-2+2+1-8∙3-2∙-2+2+1=8∙1∙0+1-8∙1∙0+1=8∙1∙0+1-8∙1∙0+1=0+10+1=11=1
∂z∂y=8∙y∙1+x+y+z∙-x-y-z+14∙z∙1+x+y+z∙-x-y-z+1=8∙3-2∙-2+2+1-8∙3-2∙-2+2+1=8∙1∙0+1-8∙1∙0+1=8∙1∙0+1-8∙1∙0+1=0+10+1=11=1
Записываем выражение для z в окрестности точки M0
zx,y=zM0+dz=zM0+∂z∂x∙dx+∂z∂y∙dy
В окрестности точки M0 справедливы приближённые равенства dx=x-1, dy=y-1.
С этими подстановками получаем (в окрестности точки M0)
zx,y≈2+1∙x-1+1∙y-1=2+x-1+y-1=x+y
Полный дифференциал функции
dz=∂zdx∙dx+∂zdy∙dy
И так как ∂zdx=1, ∂zdy=1, то dz=dx+dy
Ответ: а) zx,y=x+yб) dz=dx+dy