У двух групп горнолыжников, использующих разные варианты смазки лыж, измерили время спуска (с) с некоторой высоты:
1-я группа — 112,7; 114,0; 114,7; 114,9; 115,1; 115,3; 115,6; 116;
2-я группа — 113,1; 113,1; 113,9; 113,8; 114,0; 115,1; 114,3; 115,2.
Определить статистическую значимость различий результатов измерений у групп испытуемых при α=0,05.
Решение
Для расчета достоверности различий по t - критерию Стьюдента следует:
Вычислить средние арифметические величины (M1 и M2) для каждой группы в отдельности по следующей формуле:
M=i=1nXin, (1)
где ∑ - знак суммирования;
Хi - значение отдельного измерения;
n - общее число измерений в группе.
Проставив в формулу фактические значения измерений получим:
M1=112,7+ 114,0+ 114,7+ 114,9+ 115,1+ 115,3+ 115,6+ 1168 =114,79
M2=113,1+ 113,1+ 113,9+ 113,8+114,0+115,1+ 114,3+115,28 =114,06
Сопоставление среднеарифметических величин показывает, что во 2-й группе время спуска в среднем быстрей (M2=114,06 с.), чем в 1-м варианте смазки лыж (M1=114,79 с.).
Закономерен вопрос: достаточно ли полученного различия в средних значениях для того, чтобы утверждать, что вообще 2-й вариант смазки лучше 1-го? Какова вероятность, что это не так? Является ли это различие статистически значимым?
Для окончательного утверждения о том, что смазка для 2-й группы лучше, следует убедиться в статистической достоверности различий (t) между рассчитанными среднеарифметическими значениями.
Прежде чем использовать t-критерий Стьюдента для несвязанных групп, необходимо проверить соблюдение условия о нормальности распределения.
Выдвигаем нулевую и альтернативную гипотезы
.
Нулевая гипотеза: средняя скорость спуска с некоторой высоты при смазках №1 и №2 не имеет статистически значимых различий (Н0: М1=М2)
Альтернативная гипотеза: средняя скорость спуска с некоторой высоты при смазках №1 и №2 различается (Н1: М1М2)
t-критерий Стьюдента позволяет проверить нулевую гипотезу о равенстве средних арифметических двух несвязанных групп наблюдений (Н0: М1=М2) и рассчитывается по формуле:
t = M1-M2m12+m22,(2)
где М1 и М2 – средние арифметические двух групп наблюдений, m1 и m2 – стандартные ошибки этих средних арифметических.
Стандартная ошибка среднего арифметического рассчитывается по формуле (формулу:
m=σn-1 , (3)
где σ – среднеквадратическое (стандартное) отклонение,
n – объем выборки.
Стандартная ошибка измеряется в тех же единицах, что и количественный признак.
Среднеквадратическое (стандартное) отклонение выборки:
σ = i=1n(Xi-M)2n-1,(4)
где M- среднее значение выборки.
Рассчитаем стандартные ошибки двух выборочных средних арифметических. Поскольку выборки очень малы, в знаменатель (3) и (4) внесли поправку – из объема выборки вычли единицу.
Расчеты сведем в (Табл. 1)
Таблица 1 – Расчет t-критерия Стьюдента по эмпирическим данным
Параметр X1i X2i X1i-M1 X2i-M2 (Xi1-M1)2 (Xi2-M2)2
1 112,7 113,1 -2,09 -0,96 4,36 0,93
2 114,0 113,1 -0,79 -0,96 0,62 0,93
3 114,7 113,9 -0,09 -0,16 0,01 0,03
4 114,9 113,8 0,11 -0,26 0,01 0,07
5 115,1 114,0 0,31 -0,06 0,10 0,00
6 115,3 115,1 0,51 1,04 0,26 1,08
7 115,6 114,3 0,81 0,24 0,66 0,06
8 116,0 115,2 1,21 1,14 1,47 1,29
Σ 918,3 912,5 7,49 4,38
M1, M2 114,79 114,06
Ϭ1, Ϭ2 1,034 0,791
m1, m2 0,39 0,30
tэмп
1,47
tкр
2,14
Группа 1:
σ1 =i=1n(Xi1-M1)2n-1= (112,7-114,79)2+(114,0-114,79)2+(114,7-114,79)2+…+(116,0-114,79)28-1 =
7,497 =1,034 с.
m1= σ1n-1= 1,0347 =0,39 с.
Группа 2:
σ2 = i=1n(Xi2-M2)2n-1=
(113,1-114,06)2+(113,1-114,06)2+(113,9-114,06)2+…+(115,20-114,06)28-1 =
4,387 =0,791 с.
m2= σ2n-1= 0,7917 =0,30 с.
Рассчитаем t-критерий Стьюдента по эмпирическим данным, воспользовавшись формулой (2):
tэмп = M1-M2m12+m22 = 114,79-114,060,392+0,302 = 0,730,24 = 0,730,49 =1,48
Определим критическое значение t-критерия Стьюдента (tкр)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
