Три студента музыкального училища зарабатывают в популярных ресторанах, причем их заработок складывается только из тех средств, которые они получают от посетителей. Сначала каждый из них выступал по одиночке (не кооперируясь с коллегами), и заработок за вечер составлял у скрипача – 600$, у гитариста – 700$, у певицы – 900$. Пытаясь увеличить свой заработок, студенты в течение месяца формировали различные группы; выяснилось, что, объединившись, они могут увеличить свой заработки за вечер: совместное выступление скрипача и гитариста приносит 1500$, скрипача и певицы – 1800$, гитариста и певицы – 1900$, совместное выступление всех троих – 3000$.
1) Определить, выгодно ли студентам кооперация и на каких условиях им следует объединять свои усилия.
2) Используя данные о заработках трех музыкантов, найти вектор Шепли.
Решение
1) Музыканты, намеревающиеся объединиться, выступают игроками данной задачи. Основной критерий, который использует каждый игрок для принятия решения, -максимизация выигрыша.
Область определения характеристической функции состоит из 2n подмножеств множества I(n=3, 23=8).
Число подмножеств, на которых определена характеристическая функция , складывается из трех одноэлементных коалиций
, , ;
трех двухэлементных коалиций
, , ;
одной трехэлементной коалиции
и пустого множества .
Определим, каким образом формируются непересекающиеся коалиции S и Т. Если часть игроков из I входит в коалицию S, то все другие игроки образуют коалицию Т, так как по определению эта коалиция формируется как I/S. Таким образом, если S представляет собой одноэлементную коалицию, состоящую из первого игрока, то в коалицию Т войдут второй и третий игроки
. Если же в коалицию S войдут первый и третий игроки, то коалиция Т будет состоять только из второго игрока и т.д.
Выясним, обладает ли характеристическая функция игры свойством супераддитивности.
Поскольку каждое из рассмотренных выше неравенств удовлетворено, можно сделать вывод, что характеристическая функция рассматриваемой игры является супераддитивной, что свидетельствует о целесообразности объединения игроков с точки зрения увеличения выигрыша.
Определим, является ли рассматриваемая игра существенной:
, т. е. выполняется неравенство , значит, рассматриваемая нами игра является существенной, т. е. ее решение нужно искать среди множества недоминируемых дележей.
Представим данную игру в 0 – 1 редуцированной форме. Так как = 0 для всех i N и =1, то ;
Чтобы определить другие значения характеристической функции, воспользуемся формулой:
Таким образом, получим
Для того, чтобы убедиться в непустоте С – ядра, следует проверить выполнение условий:
1) для одноэлементных коалиций
2) для двухэлементных коалиций
Поскольку характеристическая функция игры, представленная в 0-1 редуцированной форме, удовлетворяет системе ограничений, то С – ядро такой системы не пусто и, следовательно, любой дележ, принадлежащий С – ядру, является решением игры.
В соответствии с теоремой о необходимых и достаточных условиях принадлежности С – ядру, имеем:
Рассмотренной системе ограничений будет удовлетворять вектор X' = ()
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
