Исходные данные
Рис. 6
Параметр a: a=1,5 м.
Сечение: два швеллера №20.
Характеристики материала балки: σт=290 МПа;E=190000 МПа.
Требуется
1. Определить реакции опор и выполнить проверку найденных реакций.
2. Построить эпюры изгибающих моментов и перерезывающих сил в общем виде.
3. Из условия прочности по напряжениям изгиба найти значение допускаемой нагрузки [q].
4. Построить эпюры нормальных и касательных напряжений для опасных сечений.
5. Из условия прочности по нормальным напряжениям изгиба (для найденной нагрузки [q]) подобрать для балки прямоугольное сечение с отношением сторон h/b=2 и сплошное круглое сечение диаметром D, оценить рациональность сечений, сравнив массу балок с различными сечениями.
6. Определить перемещение и угол поворота для одного из сечений на границе между участками двумя способами – начальных параметров и энергетическим, результаты сравнить.
Для расчетов принять коэффициент запаса прочности n=1,5.
Решение
Определение реакций опор
Определим реакции опор из уравнений равновесия:
Fx=0: HA=0;
MB=0: -RA∙8,25+M+P1∙6,75+q∙2,25∙1,125=0;
RA=M+P1∙6,75+q∙2,25∙1,1258,25=
=144,16q+0,75q∙6,75+q∙2,25∙1,258,25=18,39q;
MA=0:- RB∙8,25+M-P1∙1,5-q∙2,25∙7,125=0;
RB=M-P1∙1,5-q∙2,25∙7,1258,25=
=144,16q-0,75q∙1,5-q∙2,25∙7,1258,25=15,39q.
Проверка:
Fy=RA-RB-P-q=18,39q-15,39q-0,5q∙1,5-q∙1,5∙1,5=0.
2. Построение эпюр изгибающих моментов М и перерезывающих сил Q
Разбиваем схему на три участка (рис. 7).
Участок 1 0≤x1≤1,5
Qx1=RA=18,39q;
Mx1=RA∙x1-M=18,39q∙x1-144,16q;
M0=-144,16q;
M1,5=18,39q∙1,5-144,16q=-116,57q.
Участок 2 0≤x2≤4,5
Qx2=RA-P1=18,39q-0,75q=17,64q;
Mx2=RA∙1,5+x2-M-P∙x2=
18,39q∙1,5+x2-144,16q-0,75q∙x2;
M0=-116,57q;
M4,5=18,39q∙1,5+4,5-144,16q-0,75q∙4,5=-37,19q.
Участок 3 0≤x3≤2,25
Qx3=RB-q∙x3=15,39q+q∙x3;
Q0=15,39q;
Q2,25=15,39q+q∙2,25=17,64q;
Mx3=-RB∙x3-q∙x3∙x32=-15,39q∙x3-q∙x3∙x32;
M0=0;
M2,25=-15,39q∙2,25-q∙2,25∙2,252=37,19q.
По полученным значениям строим эпюры Q и М (рис. 7). Причем, эпюру М строим на растянутых волокнах.
Рис. 7
3. Определение значения допускаемой нагрузки [q] из условия прочности по напряжениям изгиба
Условие прочности при изгибе:
σmax=MmaxWz≤σ.
где σmax- максимальное напряжение;
σ- допускаемое напряжение.
Для пластичных материалов:
σ=σтn=2901,5=193,33 МПа.
Момент сопротивления двух швеллеров №20 с параллельными гранями полок:
Wz=2∙153=306 см3.
Тогда
MmaxWz=144,16q306∙10-6≤σ=193,33∙106;
q≤193,33∙106∙306∙10-6144,16=410,37Нм=0,41 кН/м.
4
. Построение эпюр нормальных и касательных напряжений для опасных сечений
Опасным является крайнее левое сечение А. В нем максимальны M и Q.
Максимальные нормальные напряжения в опасном сечении были найдены ранее:
σmax=193,33 МПа.
Максимальные касательные напряжения достигают максимального значения на уровне нейтральной оси, и они равны:
τmax=Q∙2Sz2Iz∙2d=18,39∙0,41∙103∙2∙88∙10-62∙1530∙10-8∙2∙5,2∙10-3=4,17∙106 Па=4,17 МПа,
где Sz- статический момент полусечения,
Iz- момент инерции,
d- толщина стенки.
Касательные напряжения на уровне сопряжения полки и стенки:
τ=Q∙2Sz*2Iz∙2d=18,39∙0,41∙103∙2∙65,32∙10-62∙1530∙10-8∙2∙5,2∙10-3=3,09∙106 Па=3,09 МПа,
где Sx*- статический момент площади сечения полки:
Sz*=b∙t∙h-t2=7,6∙0,9∙20-0,92=65,32 см3.
Строим эпюры по полученным значениям (рис. 8).
Рис. 8
5. Подбор прямоугольного и сплошного круглого сечений
Подбираем прямоугольное сечение:
Wz=bh26=0,5∙h36=h312;
h≥312Mmaxσ=312∙18,39∙0,41∙103193,33∙106=0,0776 м=77,6 мм.
Принимаем по ГОСТ 6636-69 прямоугольное сечение bхh=40х80 мм.
Подбираем круглое сечение:
Wz=πD332;
D≥332∙Mmaxπ∙σ=332∙18,39∙0,41∙1033,14∙193,33∙106=0,0735 м=73,5 мм.
Принимаем по ГОСТ 6636-60 диаметр D=75 мм.
Сравним массы балки с различными сечениями. Главным признаком экономичности сечения будем считать расход материала на стержень. Примем плотность стали γ=7850 кгм3. Определим для балки каждого типа сечения ее вес G по формуле:
G=A∙l∙γ.
Балка круглого сечения
G=3,14∙75∙10-324∙8,25∙7850=286,1 кг.
Балка прямоугольного сечения
G=0,08∙0,04∙8,25∙7850=207,2 кг
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
