Требуется найти экстремумы функции z=fx y

Найдем частные производные.
dzdx=x+y3-3x2-3yx'=3x+y2-6x
dzdy=x+y3-3x2-3yy'=3x+y2-3
Решим систему уравнений.
3x+y2-6x=03x+y2-3=0
x+y2=2xx+y2=1
x+y2=2x2x=1
12+y2=2*12x=12
y2+y+14=1x=12
y2+y+14=1x=12
y2+y+14=1
y2+y-34=0
D=b2-4ac=12-4*1*-34=1+3=4
y1=-b+D2a=-1+42=-1+22=12
y2=-b-D2a=-1-42=-1-22=-32
Количество критических точек равно 2.
M112;12 и M212;-32
Найдем частные производные второго порядка.
d2zdxdy=6x+6y
d2zdx2=6x+6y-6
d2zdy2=6x+6y
Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M112;12
B=d2zdxdy=6
A=d2zdx2=0
C=d2zdy2=6
AC - B2=-36<0 , то глобального экстремума нет.
Вычисляем значения для точки M212;-32
B=d2zdxdy=-6
A=d2zdx2=-12
C=d2zdy2=-6
AC - B2=36>0 и A<0, то в точке M212;-32 имеется максимум
z12;-32 =114