Требуется найти экстремум функции z=fx;y. z=x3+3x2y+3xy2-3x

Найдем частные производные.
dzdx=x3+3x2y+3xy2-3xx'=3x2+6xy+3y2-3
dzdy=x3+3x2y+3xy2-3xy'=3x2+6xy
Решим систему уравнений.
3x2+6xy+3y2-3=03x2+6xy=0
x2+2xy+2y2-1=0x2+2xy=0
2xy+2xy+2y2-1=0x2=2xy
4xy+2y2=1x2=2xy
x1=-2y1=1 x2=2y2=-1
x3=0y3=-1 x4=0y4=1
Количество критических точек равно 4.
M1-2;1; M22;-1; M30;-1; M40;1
Найдем частные производные второго порядка.
d2zdxdy=6x+6y
d2zdx2=6x+6y
d2zdy2=6x
Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках Mx0;y0.
Вычисляем значения для точки M1-2;1
B=d2zdxdy=-6
A=d2zdx2=-6
C=d2zdy2=-12
AC - B2 = 36> 0, A<0 , то в точке M1-2;1 имеется максимум
z-2;1=4
Вычисляем значения для точки M22;-1
B=d2zdxdy=6
A=d2zdx2=-6
C=d2zdy2=12
AC - B2 = 36>0 и A>0, то в точке M22;-1 имеется минимум
z2;-1 =-4
Вычисляем значения для точки M30;-1
B=d2zdxdy=-6
A=d2zdx2=-6
C=d2zdy2=0
AC - B2 = -36<0, то экстремума не существует
Вычисляем значения для точки M40;1
B=d2zdxdy=6
A=d2zdx2=6
C=d2zdy2=0
AC - B2 = -36<0, то экстремума не существует
Ответ: в точке M1-2;1 имеется максимум, в точке M22;-1 имеется минимум.