Точка B движется в плоскости xy. Закон движения точки задан уравнениями: x=f1( t ), y=f2( t ), где x и y выражены в сантиметрах, t - в секундах.
Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1=1с определить скорость и ускорение точки.
Исходные данные
Последние две цифры шифра x=f1( t )
y=f2( t )
t1, с
93 x=4-2t
y=2(t+1)2
1
Решение
Определим траекторию точки и изобразим ее на чертеже. Движение происходит в пл. xOy. В этом случае проекции всех векторов на ось Oz равны нулю. Равно нулю также третье кинематическое уравнение (проекция вектора перемещения на ось Oz): zt=0.
Для определения траектории из кинематических уравнений исключим время t:
xt=4-2t;yt=2(t+1)2⟹t=4-x2;yt=2t+12⟹yx=24-x2+12==23-x22=12x2-6x+18.
yx=12x2-6x+18.
2. Определим координаты точки в момент времени t1=1 с:
xt1=4-2t1=4-2∙1=2 м;
xt1=2 м,
yt1=2t1+12=2∙22=8 м.
yt1=8 м.
B2;8.
3. Определим алгебраические величины проекций скорости точки в общем виде, а затем для момента времена t1= 1 с. По найденным алгебраическим величинам проекций скорости построим вектор скорости на чертеже по масштабу и вычислим его величину.
vxt=xt=-2мс=const.
vxt1=-2мс.
vyt=yt=4(t+1).
vyt1=4∙(1+1)=8 мс.
Скорость в момент времени t1=1 с:
vt1=vx2t1+vy2t1=-22+82=8,25 мс.
vt1=8,25 мс.
4. Определим алгебраические величины проекций ускорений точки на оси координат в общем виде, а затем для момента времени t1= 1 с. Построим вектор ускорения на чертеже и вычислим его величину.
axt=vxt=0.
ayt=vyt=4 мс2.
В момент времени t1= 1 с
axt1=0.
ayt1=4мс2.
Полное ускорение в момент времени t1= 1 с
at1=ax2t1+ay2t1=ayt1=4 мс2
at1=4 мс2.
5
. Для определения касательного ускорения необходимо иметь проекцию вектора скорости точки на касательную, в виде функции времени:
vτ=±vt,
тогда касательное ускорение точки определяется по формуле
aτ=dvτdt=dvdt.
Продифференцируем выражение v2=vx2+vy2, получим:
2vdvdt=2vxdvxdt+2vydvydt,
aτ=dvdt=vxax+vyayv
aτt1=-2∙0+8∙48,25=3,88мс2;
aτt1=3,88мс2.
Построим вектор aτ на чертеже, соблюдая выбранный масштаб ускорений.
6. Установим характер движения точки в момент времени t1= 1 с по направлениям векторов v и aτ. Векторы эти сонаправлены:
v↑↑aτ,
следовательно, движение точки в момент времени t1= 1 с ускоренное.
7. Определим нормальное ускорение:
an=a2-aτ2.
При t1=1 с
ant1=42-3,882=0,97 мс2.
an(t1)=0,97 мс2.
8. Радиус кривизны траектории
ρ=v2an.
При t1=1 с
ρ(t1)=8,2520,97=70,17 м.
ρ(t1)=70,17 м.
На рис. 2 покажем также центр кривизны C и радиус кривизны ρ.
centertopxt=4-2t.
yt=2t+12.
yx=12x2-6x+18.
B2;8.
vxt1=-2мс.
vyt1=8 мс.
vt1=8,25 мс.
axt1=0.
ayt1=4мс2.
at1=4 мс2.
aτt1=3,88мс2.
ant1=0,97 мс2.
ρ(t1)=70,17 м.
1
0
2
Масштаб
длины, м
-1
0
Масштаб
скорости, мс
0
Масштаб
ускорений,мс2
1
-0,5
0,5
x
y
vx
vy
v
ax=0
an
ay≡a
B-4;1
C
ρ
Рисунок 2
aτ
00xt=4-2t.
yt=2t+12.
yx=12x2-6x+18.
B2;8.
vxt1=-2мс.
vyt1=8 мс.
vt1=8,25 мс.
axt1=0.
ayt1=4мс2.
at1=4 мс2.
aτt1=3,88мс2.
ant1=0,97 мс2.
ρ(t1)=70,17 м.
1
0
2
Масштаб
длины, м
-1
0
Масштаб
скорости, мс
0
Масштаб
ускорений,мс2
1
-0,5
0,5
x
y
vx
vy
v
ax=0
an
ay≡a
B-4;1
C
ρ
Рисунок 2
aτ
Контрольные вопросы
1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
