Точечный заряд q находится на расстоянии a от однородной плоскопараллельной диэлектрической пластинки толщиной с

Поместим заряд q в начале координат, а ось z направим перпендикулярно поверхности пластинки. Тогда уравнения передней и задней поверхностей ее примут вид z = a и z = a + c соответственно. Будем искать потенциал в виде
φ1=q0∞e-kzJ0kr1dk+0∞A1kJ0kr1ekzdk-∞<z<a,φ2=0∞B1kJ0kr1e-kzdk+0∞B2kJ0kr1ekzdka<z<b,φ3=0∞A2(k)J0kr1e-kzdk b<z<∞, где b=a+c.
Граничные условия на поверхностях пластинки дадут систему четырех алгебраических уравнений для определения коэффициентов А1, А2, В1, В2.
Решая эту систему, получим
A1=qβe-2kb-e-2ka1-β2e-2kc, A2=q1-β21-β2e-2kc,
B1=q(1-β)1-β2e-2kc, B2=qβ(1-β)e-2kb1-β2e-2kc
где β=ε-1ε+1, b=a+c.
На больших расстояниях за пластинкой (z > 0) поле принимает вид:
φr1, z≈qr12+z2+pz(r12+z2)3/2,
где r1=x2+y2, p=-ε-122εcq.