Теория автоматического управления

Подтверждение устойчивости
a. по корням характеристического уравнения
Исходная ПФ разомкнутой системы:
Тогда ПФ замкнутой системы:
Найдем корни характеристического уравнения замкнутой системы – знаменателя ПФ замкнутой системы:
Линейная автоматическая система управления неустойчива, так как характеристический полином замкнутой системы содержит в решении 2 корня с положительной вещественной частью.
b. по критерию Гурвица
Ранее мы нашли характеристический полином замкнутой системы.
На его основании формируем матрицу Гурвица:
Находим определители матрицы Гурвица:
Система неустойчива, так как определитель 1 порядка матрицы Гурвица отрицательный; рассчитывать определители старших порядков нет смысла.
с. по критерию Михайлова
Ранее мы нашли характеристический полином замкнутой системы.
Проведём в полиноме замену р=i·ω, где i – мнимая единица; ω – частота:
Представим выражение в виде
Djω=Pω+jQ(ω)
где
Построим характеристическую кривую:
Таблица 1. Координаты ряда точек кривой Dω
По таблице 1 построим характеристическую кривую (Рисунок 1)
Рисунок 1. Характеристическая кривая
Характеристическая кривая, соответствует неустойчивой системе (Рисунок 1), так как годограф начинает раскручиваться в IV четверть, а не в I .
d. по критерию Найквиста
Разомкнутая система неустойчива, т.к. в знаменатель содержит m=1 множитель с «правым корнем».
Тогда, по критерию Найквиста, замкнутая система будет устойчива, если годограф АФЧХ (Найквиста) разомкнутой системы будет охватывать точку (-1; i0) m/2 = 0,5 раз
Для расчёта АФЧХ перейдём к комплексной частотной характеристике:
Избавимся от мнимой составляющей в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряжённый знаменателю полином:
Выделяем вещественную P(ω) и мнимую Q(ω) составляющие:
Строим амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы.
Таблица 2. Координаты ряда точек кривой
По таблице 2 построим амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы (Рисунок 2)
Рисунок 2. Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы
Анализ устойчивости возможен также по числу переходов АФХ (правило переходов Я. З. Цыпкина) разомкнутой системы через действительную ось: замкнутая система автоматического управления будет устойчивой, если разность между положительными переходами АФХ разомкнутой системы отрезка действительной оси (–∞, –1) равна ±р/2, где р – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.
Переход характеристики  через отрезок вещественной оси слева от точки (–1, j0), т