Тема. Теоремы умножения и сложения вероятностей

Вероятности того, что изделие с первого, второго и третьего предприятий будет второсортным равны:
p1=0,15; p2=0,25; p3=0,3;
Вероятности того, что изделие с первого, второго и третьего предприятий будет первосортным равны:
q1=1-p1=0,85; q2=1-p2=0,75; q3=1-p3=0,7;
Найдем вероятность того, что среди трех изделий (по одному из продукции каждого предприятия) окажутся первосортными два изделия (т. е. одно изделие окажется второсортным):
PA1=p1∙q2∙q3+q1∙p2∙q3+q1∙q2∙p3=0,15∙0,75∙0,7+
+0,85∙0,25∙0,7+0,85∙0,75∙0,3=0,07875+0,14875+0,19125=
=0,41875.
Задание №2
Тема: «Формула полной вероятности. Формула Байеса».
В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% с заболеванием L, 20% с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7, для болезней L и М соответственно 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.
Пусть событие A состоит в том, что поступивший больной будет выписан здоровым. Возможны следующие предположения (гипотезы):
H1- больной поступил с заболевание К;
H2- больной поступил с заболевание L;
H3- больной поступил с заболевание M.
По условию вероятности гипотез равны:
PH1=0,5; PH2=0,3; PH3=0,2.
Из условия задачи условные вероятности события A при указанных гипотезах равны:
PA/H1=0,7; PA/H2=0,8; PA/H3=0,9;
Известно, что некоторый больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым . Таким образом, произошло событие A. По формуле Байеса пересчитаем вероятность гипотезы, которая состоит в том, что этот больной страдал заболеванием К (H1):
PH1/A=PH1∙PA/H1PA=PH1∙PA/H1PHi∙PA/Hi=
=PH1∙PA/H1PH1∙PA/H1+PH2∙PA/H2+PH3∙PA/H3=
=0,5∙0,70,5∙0,7+0,3∙0,8+0,2∙0,9=0,350,35+0,24+0,18=0,350,77=0,4545.
Задание №3
Тема: «Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Асимптотические формулы: формула Пуассона, локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа»
Вероятность выигрыша по облигации займа равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретая 4 облигации, выиграет хотя бы по одной из них?
Вероятность каждого события будем находить с помощью формулы Бернулли:
PnX=k=Cnk∙pk∙qn-k,
где из условия: n=4 облигации; вероятность выигрыша по облигации займа p=0,25; вероятность проигрыша по облигации займа: q=1-p=1-0,25=0,75.
Найдем вероятность того, что некто, приобретая 4 облигации, выиграет хотя бы по одной из них:
PX≥1=1-PX<1=1-P4X=0=1-C40∙p0∙q4=
=1-1∙1∙0,754=1-0,31640625=0,68359375.
Задание №4
Тема: «Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины и ее числовые характеристики»
Для заданной случайной величины Х:
1) составить закон распределения, функцию распределения F(x) и построить ее график;
2) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение;
3) определить P(α≤X≤β), M(Y) и D(Y) если Y=kX+b (α, β, k,b – данные числа);
Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящих из пяти единиц