Тема дифференциальные уравнения в частных производных

Согласно методу Фурье решение уравнения будем искать в виде произведения двух функций:
u=ux,t=X(x)T(t)
При этом функция X(x) зависит только от x, а T(t) – только от t.
Подставляем в уравнение:
XxT''t=16X''(x)T(t)
Разделяем переменные:
T''(t)16Tt=X''(x)Xx
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа (обозначим λ):
T''(t)16Tt=X''(x)Xx=λ
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
X''x-λXx=0T''t-16λTt=0
Граничные условия X0Tt=0 и X6Tt=0 дают X0=X6=0, т.е. ищем ненулевые решения уравнения X''x-λXx=0 - обыкновенного линейного дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
k2-λ=0
Рассмотрим возможные случаи:
а) λ=0 Xx=c1x+c2
Условия X0=X6=0 дают только тривиальное решение c1=c2=0, т.е . X(x)≡0, поэтому λ=0 отбрасываем.
б) λ>0 Xx=c1eλx+c2e-λx
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=X6=0:
c1+c2=0c1e6λ+c2e-6λ=0
Получаем опять же c1=c2=0, поэтому λ>0 отбрасываем.
в) λ<0 Xx=c1cos-λx+c2sin-λx.
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=X6=0:
c1cos0+c2sin0=0c1cos6-λ+c2sin6-λ=0
Получаем:
c1=0c2sin6-λ=0
Тогда:
c2sin6-λ=0 6-λ=πn λ=-π2n236
Т.е. получили собственные функции вида:
Xn=cnsinπn6x
Возвращаемся к уравнению T''t-16λTt=0
Его характеристическое уравнение с учетом λ=-π2n236 примет вид:
k2+4π2n29=0 k=±2πn3i
И общее решение:
Tnt=Ancos2πn3t+Bnsin2πn3t
Получили, что функции (берем cn=1, т.к