Сухой воздух массой 1 кг совершает прямой термодинамический цикл

Изобразим схематично на P-v - диаграмме заданный термодинамический цикл, состоящий из адиабатного (1-2, S=const), изохорного (2-3, v=const), адиабатного (3-4, S = const) и изотермического (4-1, Т=const) термодинамических процессов (рис.1).
Рис.1. Схема процесса в P-v диаграмме
Рассчитаем значения термодинамических параметров для основных точек цикла с учетом заданных исходных данных.
Процесс 1-2
Для этого процесса известно: Р1 = 0,3 МПа; T1 = 303 К; Р2 = 0,6 МПа
Определяем значения параметров V1, V2, T2
Так как процесс 1-2 адиабатный, то для него справедливо уравнение PVk=const, где k – показатель адиабаты.
Для определения значения теплоемкости в данном процессе при постоянном объеме используем уравнение Майера: Cp – Cv = R.
Так как по условиям задания Cp = 1,025 кДж/(кг К), а R = 0,287 кДж/(кг К),
Cv = Cp – R = 1,025 – 0,287 = 0,738 кДж/к(г К)
Показатель адиабаты равен отношению теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме, т. е.
k=CpCv= 1,0250,738=1,39кДжкг К
По известным величинам определяем удельный объем в точке 1:
Р1V1 = RT1
V1 = RT1/ Р1 = 287*303/300000 = 0,29 м3/кг.
Из уравнения адиабаты следует, что:
Р1V1k=Р2V2k
Отсюда удельный объем в точке 2
V2 = V1*(Р1/Р2)1/k= 0,29*(0,3/0,6)1/1,39 = 0,176 м3/кг
Из уравнения состояния температура в точке 2:
Р2V2 = RT2
T2 = Р2V2/R = 600000*0,176/287 = 368,2 K
Процесс 2-3
Так как процесс 2-3 по условиям задания – изохорный, то V3 = V2 = 0,176 м3/кг, а при постоянном давлении газа изменяется прямо пропорционально абсолютной температуре, т. е. в данном случае.
P2T2= P3T3
Из этого соотношения определяем значение давления в точке 3:
P3=T3 P2T2=5230,6368,2=0,85 МПа
Процесс 3-4
Для адиабатного процесса 3-4 давление в точке 4
T3T4=P3P4k-1k
P4=P3T4T3kk-1=0,853035231,391,39-1=0,1218 МПа
Процесс 4-1
Процесс 4-1 по условиям задания – изотермический, а при Т =const объем газа изменяется обратно пропорционально его абсолютному давлению (закон Бойля-Мариотта), т. е.
Т4 = Т1 = 303 К
Из уравнения состояния удельный объем в точке 4
V4 = RT4/ Р4 = 287*303/121790 = 0,714 м3/кг.
Результаты расчетов основных параметров состояния в характерных точках цикла сводим в таблицу 1.
Таблица 1.
Значения основных термодинамических параметров в основных точках цикла
Точки цикла Параметры в основных точках цикла
Р, МПа Т, К V, м3/кг
1 0,3 303 0,29
2 0,6 368,2 0,176
3 0,85 523 0,176
4 0,122 303 0,714
2. Для каждого из термодинамических процессов (в соответствии с заданием) аналитическим путем определяем значения показателей политропы n, теплоемкости c, вычисляем изменения удельной внутренней энергии u, удельной энтальпии i, удельной энтропии ∆s, удельную теплоту процесса q, удельную работу изменения объема l, удельную располагаемую работу lp.
1-2: адиабатный процесс
Для обратимого адиабатного процесса, т. е. обратимый адиабатный процесс одновременно является изоэнтропным. Для процесса 1-2 определяем показатель политропы
n= lg⁡(P1P2)lg⁡(V1V2)
n= lg⁡(0,30,6)lg⁡(0,1760,29)=1,39
В адиабатном процессе n = k, поэтому Cn = 0.
Согласно первому закону термодинамики удельная работа изменения объема в адиабатном процессе совершается за счет убыли удельной внутренней энергии рабочего тела: dl = -dU . При Cv = const
∆u= U2-U1=CvT2-T1=738*(368,2-303)= 48,12 кДж/кг
Следовательно:
l= -∆u=-48,12 кДж/кг
Удельная располагаемая (внешняя) работа в адиабатном процессе 1-2
lp = k*l = 1,39*48,12 = - 66,88 кДж/кг
Изменение энтальпии в процессе 1-2 определяем по формуле, справедливой для всех термодинамических процессов при постоянной теплоемкости Ср,
∆i= i2-i1= CpT2-T1=1,025*368,2-303= 66,83 кДж/кг
Удельная теплота в адиабатном процессе
q1-2= 0
Изменение удельной энтропии
∆s= 0
2-3: изохорный процесс
n= , так как V2 = V3, а Cv = Cn.= 0,738 кДж/(кг К)
Количество теплоты, участвующей в процессе при постоянной теплоемкости, равно изменению внутренней энергии, т. е. в изохорном процессе вся внешняя теплота расходуется только на изменение внутренней энергии рабочего тела.
Так как в процессе 2-3 давление увеличивается, то удельное количество теплоты подводится, при этом увеличиваются внутренняя энергия и температура газа
q2-3=T2T3CvdT= CvT3-T2=∆U, кДж/кг
q2-3=∆U= 738*523-368,2= 114,242кДжкг
Изменение энтальпии в процессе 2-3
∆i=i3-i2=CpT3-T2=1025*(523-368,2)= 158,67 кДж/кг
Изменение удельной энтропии в обратимом изохорном процессе определяется из уравнения
∆s2-3=CvlnT3T3+R*lnV3V2, кДжкг К
но при V=const, поэтому lnV3V2=0
∆s2-3=CvlnT3T2=CvlnP3P2
∆s2-3=0,738*ln523368,2=0,738*ln0,850,6=0,26кДжкг К
Внешняя работа газа в процессе 2-3 при V = const равна нулю, так как dV = 0
l2-3=V2V3PdV= 0
Удельная располагаемая (внешняя) работа определяется по формуле
l'2-3=-P2P3VdP= -VP3-P2=-0,1760,85-0,6*103=-44 кДжкг
3-4: адиабатный процесс
Изменение удельной внутренней энергии
∆u= CvT4-T3=(Cp-R)(T4-T3)=(1025-287)(303-523)= -162,36 кДж/кг
Изменение удельной энтальпии
∆i= CpT4-T3=1025*303-523= -225,5 кДж/кг
Изменение удельной энтропии
∆s= 0
Удельная работа процесса
l3-4= -∆u=162,36 кДж/кг
Удельная располагаемая (внешняя) работа в адиабатном процессе 1-2
lp = k*l = 1,39*162,36 = 225,68 кДж/кг
Удельная теплота процесса
q3-4= 0
4-1: изотермический процесс
Для изотермического процесса основное уравнение первого закона термодинамики принимает вид dq = dl и q4-1= l4-1. Количество подведенной к рабочему телу теплоты численно равно работе изменения объема.
Зная уравнение изотермического процесса для идеального газа, можно подсчитать работу процесса
l4-1 = q4-1 = P4v4ln(v1/v4)
l4-1 = = 0,122*106*0,714*ln(0,29/0,714) = -78,4 кДж/кг.
В изотермическом процессе идеального газа l’= l = q, т. е. работа изменения объема, располагаемая (полезная) работа и удельное количество теплоты, полученное рабочим телом, равны между собой.
Таким образом, для процесса 4-1 справедливо равенство
l’4-1 = l4-1 = q4-1 = -78,4 кДж/кг
Значение показателя политропы в изотермическом процессе может быть определено по координатам двух любых точек графика процесса,
n= lgP4P1lgv1v4
n-1= lgT1T4lgv4v1
отсюда n = 1
Теплоемкость в изотермическом процессе при T= const и dT = 0 равна
C= dqdT= ±∞
Энтальпия и внутренняя энергия идеального газа при T= const не изменяются, т