Стержень состоит из двух различных частей (см рис ниже)

1) Составим математическую модель продольных колебаний стержня.
Рис. 2
1) Если (0<x<L1) и (L1<x<L1+L2)
Выберем систему координат так, чтобы ось 0x совпадала с осью стержня, начало оси совпадает с левым концом стержня, рис.2. Пусть x − координата сечения pq стержня, когда он находится в покое. Будем рассматривать малые продольные колебания стержня. В этом случае внешние силы и силы инерции можно считать направленными вдоль оси стержня. Смещение сечения pq в момент t обозначим через u(x,t). Тогда смещение сечения в точке x+∆x будет
ux+∆x,t≅ux,t+uxx,t∆x.
Относительное удлинение стержня в сечении x будет ux(x,t). По закону упругости Гука сила натяжения в этом сечении будет
T(x,t)=ESuxx,t,
где S − площадь поперечного сечения стержня, E − модуль упругости материала стержня.
Аналогично, сила натяжения в сечении p'q' (x+∆x) будет
Tx+∆x,t=ESuxx+∆x,t.
Равнодействующая сил натяжения будет
Tx+∆x,t-T(x,t)=ESuxx+∆x,t-uxx,t
Других объемных сил на элемент стержня pqp'q' при t>0 не действует.
Произведение массы элемента pqp'q' стержня ρS∆x на ускорение равно ρS∆xutt.
Уравнение движения этого элемента (уравнение Ньютона) имеет вид
ρSutt(x*,t)∆x= ESuxx+∆x,t-uxx,t.
(1)
где x*∈(x,x+∆x).
Разделив обе части уравнения на ρS∆x и переходя к пределу ∆x→0, получим
utt(x,t)=Eρlim∆x→0uxx+∆x,t-uxx,t∆x=Eρuxx.
Следовательно, дифференциальное уравнение продольных колебаний стрежня
utt=Eρuxx.
Везде кроме точки x=0 материал стержня однороден. Введем обозначение a=E/ρ (скорость распространения упругих волн). Волновое уравнение, описывающее продольные колебания стержня, примет вид. Для левого стержня
u1tt=a12u1xx, a12=E1ρ1, 0<x<L1, t>0.
(2')
Аналогично, для правого стержня
u2tt=a22u2xx, a22=E2ρ2, L1<x<L1+L2, t>0.
(2'')
2) Для того, чтобы получить граничные условия на краях стержня, надо рассмотреть уравнение Ньютона для элементов у краев стержня.
Получим граничное условие для левого края стержня x=0 при t>0, напишем уравнение движения Ньютона для элемента (0, ∆x) . На этот элемент в сечении ∆x будет действовать сила натяжения, равная
F∆x, t=E1S1u1x∆x,t.
В сечении 0 действует упругая сила
Fупр=-k1u10,t
и сила сопротивления
Fсопр=-αu1t0,t
Уравнение Ньютона для элемента (0, ∆x) стержня примет вид
ρ1S1∆xu1ttx*,t=E1S1u1x∆x,t-k1u10,t-αu1t0,t.
где x*∈(0,∆x).
Осуществим предельный переход ∆x→0, получим
0=E1S1u1x∆x,t-ku10,t-αu1t0,t.
Разделив на E2S2, получим граничное условие
u1x0,t-k1E1S1u10,t-αE1S1u1t0,t=0, t>0.
(3')
Получим граничное условие для правого края стержня x=L1+L2 при t>0, напишем уравнение движения Ньютона для элемента (L1+L2-∆x, L1+L2). На этот элемент в сечении L1+L2-∆x будет действовать сила натяжения, равная
FL1+L2-∆x, t=-E2S2u2xL1+L2-∆x,t.
В сечении L1+L2 действует упругая сила
Fупр=-k1u2L1+L2,t
и сила сопротивления
Fсопр=-αu2tL1+L2,t
Уравнение Ньютона для элемента (L1+L2-∆x, L1+L2) стержня примет вид
ρS∆xu2ttx,t=-E2S2u2xL1+L2-∆x,t-ku2L1+L2,t-αu2tL1+L2,t,
где x*∈(L1+L2-∆x, L1+L2).
Осуществим предельный переход ∆x→0, получим
0=-E2S2u2xL1+L2,t-k1u2L1+L2,t-αu2tL1+L2,t.
Разделив на E2S2, получим граничное условие
u2xL1+L2,t+k1E2S2u2L1+L2,t+αE2S2u2tL1+L2,t=0, t>0.
(3'')
3) В точке (x=L1) необходимо условие согласования для колебаний правой и левой частей стержня.
Из непрерывности стержня по всей длине (0<x<L1+L2), в том числе и в точке x=L1 имеем условие
u1L1,t=u2L2,t.
(4')
Запишем уравнение Ньютона для элемента стержня (L1-∆x,L1+∆x), содержащего точку x=L1, в которой стыкуются части стержня