Стержень изначально закрепленный и нагруженный как показано на рисунке ниже

1) Составим математическую модель продольных колебаний стержня.
Выберем систему координат так, чтобы ось 0x совпадала с осью стержня, начало оси совпадает с левым концом стержня, рис.2. Пусть x − координата сечения pq стержня, когда он находится в покое. Будем рассматривать малые продольные колебания стержня. В этом случае внешние силы и силы инерции можно считать направленными вдоль оси стержня.
Рис. 2
Смещение сечения pq в момент t обозначим через u(x,t). Смещение сечения в точке x+∆x будет
ux+∆x,t≅ux,t+uxx,t∆x.
Тогда относительное удлинение стержня в сечении x будет ux(x,t). По закону упругости Гука сила натяжения в этом сечении будет
Fx=ESuxx,t.
Аналогично, сила натяжения в сечении p'q' (x+∆x) будет
Fx+∆x=ESuxx+∆x,t.
Равнодействующая сил натяжения будет
Fx+∆x-F(x)=ESuxx+∆x,t-uxx,t
При t>0 распределенная нагрузка снята, поэтому других объемных сил на элемент стержня pqp'q' не действует.
Произведение массы элемента стержня pqp'q' на ускорение равно ρS∆xutt.
Уравнение движения этого элемента (уравнение Ньютона) имеет вид
ρSutt∆x= SEuxx+∆x,t-uxx,t
(1)
Разделив обе части уравнения на ρS∆x и переходя к пределу ∆x→0, получим
utt=Eρlim∆x→0uxx+∆x,t-uxx,t∆x=Eρ∂2u∂2x.
Следовательно, дифференциальное уравнение продольных колебаний стрежня
∂2u∂t2=Eρ∂2u∂2x, 0<x<L, t>0.
(2)
Или
∂2u∂t2=a2∂2u∂2x, 0<x<L, t>0.
(2')
где a=Eρ − скорость распространения упругих волн в стержне (скорость звука).
Чтобы получить граничные условия надо аналогично записать уравнения Ньютона для элементов, примыкающих к краям стержня.
Получим граничное условие для левого края стержня x=0 при t>0, когда этот край свободен . Напишем уравнение движения Ньютона для элемента (0,∆x). На этот элемент в сечении ∆x будет действовать сила натяжения, равная
F∆x, t=ESux∆x,t.
В сечении x=0 никакие силы не действую (край свободен)
Уравнение Ньютона для элемента (0,∆x) стержня примет вид
ρS∆xuttx,t=ESux∆x,t.
Осуществим предельный переход ∆x→0, получим условие
0=ESux0,t.
Разделив на ES, получим граничное условие
ux0,t=0, t>0.
(3)
Аналогично получается граничное условие для правого свободного края
uxL1+L2,t=0, t>0.
(4)
В начальный момент времени t=0 стержень был закреплен, рис