Статистический анализ одномерной случайной величины
1.1 Задание
По заданному варианту выборочной совокупности независимых и равноточных измерений случайной величины Х(СВХ)
(предварительно удалив резко выделяющиеся наблюдения):
1. Вычислить точечные оценки для математического ожидания, среднеквадратического отклонения, коэффициента асимметрии.
2. Составить интервальный статистический ряд распределения относительных частот и построить гистограмму и полигон относительных частот.
3. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
4. Исходя из общих представлений о механизме образования СВ X, а также по виду гистограммы и полигона относительных частот и вычаленным числовым характеристикам, выдвинуть гипотезу о виде распределения СВ X, записать плотность распределения вероятностей и функцию распределения для выдвинутого гипотетического закона, заменяя параметры закона вычисленными для них оценками.
5. По критерию согласия х2 Пирсона проверить соответствие выборочного распределения гипотетическому закону для уровня значимости q=0,05.
6. Вычислить интервальные оценки для математического ожидания m и среднеквадратического отклонения, соответствующие доверительным вероятностям =0,95 и =0,99.
Таблица 1. Данные о месяце рождения студентов 1 курса ф-та ФЭУ ВолгГТУ приведены в таблице
8 10 6 5 4 6 8 6 6 9
8 7 11 10 10 1 1 4 2 11
9 11 1 4 12 4 3 3 7 5
9 11 7 10 1 12 4 10 9 12
1 9 11 8 3 7 5 11 7 12
1 12 4 8 12 5 1 12 9 1
10 3 6 9 3 5 1 6 9 4
9 11 8 8 12 6 7 1 11 9
7 8 5 9 2 5 12 7 8 12
6 3 8 6 12 7 3 10 3 3
Решение
Преобразуем значения исходных данных.
Таблица 2.
Хi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fi
10 2 9 7 7 9 9 10 11 7 8 11
Объем выборки равен 100. Составим таблицу вспомогательных вычислений.
Таблица 3.
Хi
fi
xi*fi
Накопл частота s
[x-xср]*fi
[x-xср]2*fi
fi/f
1 10 10 10 59 348,1 0,1
2 2 4 12 9,8 48,02 0,02
3 9 27 21 35,1 136,89 0,09
4 7 28 28 20,3 58,87 0,07
5 7 35 35 13,3 25,27 0,07
6 9 54 44 8,1 7,29 0,09
7 9 63 53 0,9 0,09 0,09
8 10 80 63 11 12,1 0,1
9 11 99 74 23,1 48,51 0,11
10 7 70 81 21,7 67,27 0,07
11 8 88 89 32,8 134,48 0,08
12 11 132 100 56,1 286,11 0,11
Итого 100 690 - 291,2 1173 1
Вычислим точечные оценки для математического ожидания, среднеквадратического отклонения, коэффициента асимметрии.
Математическое ожидание находим по формуле:
=7
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
Среднее квадратическое отклонение.
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 7 в среднем на 3.425.
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
Оценка среднеквадратического отклонения.
Коэффициент ассиметрии находим с помощью формулы:
где M3 - центральный момент третьего порядка, σ - среднеквадратическое отклонение.
Для расчета центрального момента 3-го и 4-го порядка составим таблицу
Таблица 4.
Хi
fi
(x-xср)3*fi
(x-xср)4*fi
1 10 -2053,79 12117,36
2 2 -235,298 1152,96
3 9 -533,871 2082,097
4 7 -170,723 495,0967
5 7 -48,013 91,2247
6 9 -6,561 5,9049
7 9 0,009 0,0009
8 10 13,31 14,641
9 11 101,871 213,9291
10 7 208,537 646,4647
11 8 551,368 2260,609
12 11 1459,161 7441,721
Итого 100 -714 26522,01
Таким образом коэффициент ассиметрии равен
Отрицательный знак свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии
. Оценка существенности показателя асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии: Если выполняется соотношение |As|/sAs < 3, то асимметрия несущественная, ее наличие объясняется влиянием различных случайных обстоятельств. Если имеет место соотношение |As|/sAs > 3, то асимметрия существенная и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным.
В анализируемом ряду распределения наблюдается несущественная асимметрия (-0.178/0.555 = 0.32<3)
Составить интервальный статистический ряд распределения относительных частот и построить гистограмму и полигон относительных частот.
Таблица 5.
Хi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ni
10 2 9 7 7 9 9 10 11 7 8 11
Отн. Част. 0,1 0,02 0,09 0,07 0,07 0,09 0,09 0,1 0,11 0,07 0,08 0,11
Рис.1. Гистограмма относительных частот
Рис. 2. Полигон относительных частот
3. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
Эмпирической (опытной) функцией распределения или функцией распределения выборки называют такую функцию, которая определяет для каждого значения x частоту событий X<x и предназначена для оценке теоретической функции распределения генеральной совокупности в математической статистике.
Эмпирическая функция распределения находится по формуле:
, где nx – количество наблюдений меньше Х, n – объем выборки.
Вычислим функцию распределения выборки:
Функция имеет вид:
0 при Х≤1
0,1 при 1<X≤2
0,12 при 2<X≤3
0,21 при 3<X≤4
0,28 при 4<X≤5
F(x)
0,35 при 5<X≤6
0,44 при 6<X≤7
0,53 при 7<X≤8
0,63 при 8<X≤9
0,74 при 9<X≤10
0,81 при 10<X≤11
0,89 при 11<X≤12
1 при X>12
Отобразим функцию на графике
Рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
