Статистическая обработка опытных данных. Точечная оценка числовых характеристик.
По результатам анализа 50 проб медного концентрата получены содержания меди (в %). Результаты наблюдений записаны в порядке поступления. По данным выборки выполнить следующие задания:
60, 58, 60, 61, 58, 57, 58, 62, 61, 59, 51, 52, 56, 68, 64, 57, 57, 64, 61, 65, 53, 67,
55, 56, 64, 63, 57, 62, 59, 61, 62, 60, 59, 58, 54, 63, 69, 55, 55, 66, 54, 65, 66, 59,
62, 60, 65, 59, 59, 58.
Записать выборку в виде дискретного вариационного ряда.
Составить интервальный вариационный ряд (6 – 8 интервалов). Найти относительные частоты.
Построить гистограмму относительных частот.
Записать дискретный вариационный ряд, соответствующий интервальному, используя середины частичных интервалов.
Построить полигон частот (для ряда из п. 4).
Найти эмпирическую функцию распределения для дискретного (п. 4) и интервального (п.2) рядов. Построить графики.
Найти числовые характеристики (моду, медиану, выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные оценки дисперсии и среднего квадратического отклонения) для исходного вариационного ряда (п.1)
Найти числовые характеристики (выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные оценки дисперсии и среднего квадратического отклонения) для вариационного ряда, построенного по серединам интервалов (п.4).
Найти доверительный интервал для математического ожидания при заданной доверительной вероятности (использовать оценки , найденные в п.7).
Найти выборочный коэффициент корреляции и записать уравнение линейной регрессии У на Х. Построить график.
Xi 11 13 14 16 17 19 21 22 24 26
Yi 2 3 6 8 9 11 13 15 16 19
При уровне значимости α=0,05 с помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении изучаемого признака Х, используя дискретный вариационный ряд (п.1).
При уровне значимости α=0,05 с помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении изучаемого признака Х, используя интервальный вариационный ряд (п.2).
При уровне значимости 1) α=0,05, 2) α=0,1 с помощью критерия Колмогорова проверить гипотезу о нормальном распределении изучаемого признака Х, используя интервальный вариационный ряд (п.2).
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Записать выборку в виде дискретного вариационного ряда.
n=50 – объем выборки
Строим ранжированный ряд, то есть располагаем все элементы нашей выборки в порядке возрастания значений:
51, 52, 53, 54, 54, 55, 55, 55, 56, 56, 57, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 58, 58, 59, 59, 59, 59, 59, 59, 60, 60, 60, 60, 61, 61, 61, 61, 62, 62, 62, 62, 63, 63, 64, 64, 64, 65, 65, 65, 66, 66, 67, 68, 69.
В исходных данных некоторые значения неоднократно повторяются. Следовательно, дискретный вариационный ряд можно представить в виде:
xi 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
ni 1 1 1 2 3 2 4 5 6 4 4 4 2 3 3 2 1 1 1
Составить интервальный вариационный ряд (6 – 8 интервалов). Найти относительные частоты.
Находим ширину интервалов разбиения по формуле:
Построим интервальный ряд, т.е. к xmin прибавляем 3 и получаем первый интервал от 51 до 54. И последующие интервалы получаются прибавлением к концу предыдущего интервала ширины интервала h. Затем подсчитываем количество вариантов ni, попавших в каждый интервал.
Интервалы [51; 54] (54; 57] (57; 60] (60; 63] (63; 66] (66; 69]
ni 5 9 15 10 8 3
Найдем относительные частоты i, и запишем их в таблицу:
Интервалы ni i
[51; 54] 5 0,1
(54; 57] 9 0,18
(57; 60] 15 0,3
(60; 63] 10 0,2
(63; 66] 8 0,16
(66; 69] 3 0,06
Построить гистограмму относительных частот.
Записать дискретный вариационный ряд, соответствующий интервальному, используя середины частичных интервалов.
Найдем середины интервалов и запишем вариационный ряд, соответствующий интервальному:
Интервалы хi ni
[51; 54] 52,5 5
(54; 57] 55,5 9
(57; 60] 58,5 15
(60; 63] 61,5 10
(63; 66] 64,5 8
(66; 69] 67,5 3
Интервальный вариационный ряд
xi 52,5 55,5 58,5 61,5 64,5 67,5
ni 5 9 15 10 8 3
Построить полигон частот (для ряда из п. 4).
Найти числовые характеристики (моду, медиану, выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные оценки дисперсии и среднего квадратического отклонения) для исходного вариационного ряда (п.1)
Мода Mo – варианта, которая имеет наибольшую частоту. В нашем случае мода:
Медиана me – варианта, которая делит вариационный ряд на две части:
Выборочная средняя (среднее арифметическое) – средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.
Дисперсию вычислим по формуле:
Среднее квадратическое отклонение
Исправленная дисперсия
Исправленное среднее квадратическое отклонение
Найти числовые характеристики (выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные оценки дисперсии и среднего квадратического отклонения) для вариационного ряда, построенного по серединам интервалов (п.4).
Вариационный ряд, построенный по серединам интервалов, имеет вид:
xi 52,5 55,5 58,5 61,5 64,5 67,5
ni 5 9 15 10 8 3
Выборочная средняя (среднее арифметическое) – средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.
Дисперсию вычислим по формуле:
Среднее квадратическое отклонение
Исправленная дисперсия
Исправленное среднее квадратическое отклонение
Найти доверительный интервал для математического ожидания при заданной доверительной вероятности (использовать оценки, найденные в п.7).
Согласно центральной предельной теореме, для выборки достаточно большого объема выборочное среднее X будет иметь приближенно нормальное распределение с параметрами M(X)=a и где a и σ — соответствующие параметры генеральной совокупности.
Доверительный интервал для генерального среднего - это интервал изменений среднего значения совокупности, в пределах которого с заданной вероятностью будет находиться выборочное среднее при выборке данных большего размера.
Поскольку n>30, то определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа В этом случае 2Ф(tkp) = 1 – γ
Ф(tkp) = (1 - γ)/2 = 0,95/2 = 0,475
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0,475
tkp (γ) = (0,475) = 1,96
(59,46 – 1,14; 59,46 + 1,14) = (58,32; 60,6)
С вероятностью 0,95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Найти выборочный коэффициент корреляции и записать уравнение линейной регрессии У на Х
. Построить график.
Xi 11 13 14 16 17 19 21 22 24 26
Yi 2 3 6 8 9 11 13 15 16 19
Уравнение регрессии показывает, как средние значения одного признака Y зависят от значений другого признака X. Часто эта зависимость является линейной:
.
Параметры а и b в уравнении линейной регрессии находятся по методу наименьших квадратов, который приводит к следующим формулам для их вычисления:
Найдем средние значения признаков и , а также их средние квадратические отклонения х и у
Все данные заносим в таблицу:
№ Xi Yi XiYi Xi^2 yi^2
1 11 2 22 121 4
2 13 3 39 169 9
3 14 6 84 196 36
4 16 8 128 256 64
5 17 9 153 289 81
6 19 11 209 361 121
7 21 13 273 441 169
8 22 15 330 484 225
9 24 16 384 576 256
10 26 19 494 676 361
сумма 183 102 2116 3569 1326
среднее 18,3 10,2 211,6 356,9 132,6
Получили
Находим
Оценим тесноту линейной связи по коэффициенту линейной корреляции r:
.
Так как r > 0, то связь прямая, то есть с ростом значений признака Х значения признака Y возрастают.
Т.к
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
