Стальной кубик находится под действием сил создающих плоское напряженное состояние

Во-первых, определимся со знаками нормальных и касательных напряжений. Нормальные растягивающие напряжения принято брать со знаком плюс, а сжимающие – со знаком минус. Следовательно, σx=+40 МПа, σy=+40 МПа, σxy=τ=+40 МПа.
Найдем положение главных площадок
tg2α=2τxyσx-σy=2∙4040-40=800=несуществует
Следовательно, 2α=90°, α=45°. Это показывают, что поворот будет осуществляться против часовой стрелки от направления оси ОХ.
Найдем главные значения напряжений
σx-σττσy-σ=σx-σσy-σ-τ2=0
раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение
σ1,2=σx+σy2±σx-σy22+τ2
подставляя заданные напряжения получим
σ1,2=40+402±40-4022+402=40±402=40±40
σmax=80 МПа, σmin=0 МПа.
Сумма нормальных напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам, есть величина инвариантная, т.е . не зависящая от поворота координатных осей относительно неподвижной точки