Стальная плита размером 1000x200 мм длиной 1

Определим критерий Грасгофа по формуле:
Gr=g·l3·ΔT·βν2
где:
g=9,81мс2 – ускорение свободного падения;
l=1,5 м по заданию – характерный размер, для пластины в вертикальном положении её длина;
ΔT – разность температур воздуха и стальной плиты, 0С;
β=3,665·10-3 1/К по заданию – коэффициент объёмного расширения воздуха;
ν=15,06·10-6 – коэффициент кинематической вязкости, по таблице [1] при температуре воздуха tв=200С;
Gr=9,81·1,53·720-20·3,665·10-315,06·10-62=0,3745·1012
Определим число Прандтля по таблице [1] при температуре воздуха tв =200С Pr=0,703
Произведение критерия Грасгофа на число Прандтля:
Gr·Pr=0,3745·1012·0,703=0,263·1012
Критерий Нуссельта определяется по формуле:
Nu=C·(Gr·Pr)n
где:
С, n – коэффициенты, определяются в зависимости от произведения Gr·Pr
при 2·107<Gr·Pr<1013 C=0,135; n=0,333 [1]
Nu=0,135·(0,263·1012)0,333=857,391
Определим средний коэффициент теплоотдачи по формуле:
α=Nu·λвl;Вт/(м2·℃)
где:
λв=2,59·10-2 Вт/(м·℃) –коэффициент теплопроводности воздуха, по таблице [1] при температуре tв =200С;
α=857,391·2,59·10-21,5=14,804 Вт/(м2·℃)
Определим число Био по формуле:
Bi=α·δλст
где:
λст=50Втм·К по заданию – коэффициент теплопроводности стали;
δ=100 мм=0,1 м по заданию – половина толщины плиты;
Bi=14,804·0,150=0,0296
Определим коэффициент температуропроводности стали по формуле:
a=λстCp·ρст;м2/с
где:
Cp=500Джкг·К по заданию – удельная изобарная теплоёмкость стали;
ρст=7850кгм3 по заданию - плотность стали;
a=50500·7850=1,274·10-5 м2/с
Определим критерий Фурье по формуле:
Fo=a·τδ2
где:
τ=1 час=3600 с по заданию – время остывания плиты, с;
Fo=1,274·10-5·36000,12=4,5864
Для расчета температуры воспользуемся уравнением нестационарной теплопроводности:
θ=θ0·i=1∞2·sin⁡(βi)βi+sinβi·cos⁡(βi)·cos⁡(βi·xδ)·e-Foβi2
Так как Fo>0,3, то можно ограничиться первым членом ряда [1] . По таблице [1] найдем значение β1 при Bi=0,0296 интерполяцией (при Bi=0,01 β1=0,1; при Bi=0,1 β1=0,31):
β1=0,1+0,31-0,10,1-0,01·0,0296-0,01=0,1457
Формула для определения безразмерной температуры упрощается:
θ=2·sin⁡(β1)β1+sinβ1·cos⁡(β1)·cos⁡(β1·xδ)·e-Foβ12
θ=2·sin⁡(0,1457)0,1457+sin0,1457·cos⁡(0,1457)·cos0,1457·0,10,1·e-4,5864·0,14572=0,9008
Определим температуру на поверхности пластины:
t1=tв+θ·t0-tв; ℃
где:
t0=720℃ – начальная температура стальной плиты;
t1=20+0,9008·720-20=650,56 ℃
Определим количество теплоты, отданное за час плитой воздуху:
Q=Qп·1-θ;Дж
где:
Qп – полное количество теплоты, которое может быть отдано или воспринято пластиной за всё время; Дж;
θ – средняя безразмерная температура в момент времени τ;
Полное количество теплоты определим по формуле:
Qп=2δfρct0-tв;Дж
где:
f – площадь поверхности одной стороны пластины; м2
f=b·l;м2
где:
b=1 м по заданию – ширина плиты, м
f=1·1,5=1,5 м2
Qп=0,2·1,5·7850·500·720-20=824250·103 Дж=824,25·103 кДж
Средняя безразмерная температура в момент времени τ может быть вычислена по формуле:
θ=i=1∞2·sin2βiβi2+βi·sinβi·cosβi·e-βi2Fo
Так как Fo>0,3, то можно ограничиться первым членом ряда, β1=0,1457
θ=2·sin2(0,1457)0,14572+0,1457·sin0,1457·cos⁡(0,1457)·e-0,14572·4,5864=0,9072
Количество теплоты, отданное воздуху стальной плитой за 1 час:
Q=824,25·103·1-0,9072=76,49·103кДж
Определим плотность конвективного теплового потока по формуле:
qк=α·tст-tв;Вт/м2
- в начальный момент времени:
qк=14,804·720-20=10362,8 Вт/м2
- через час после остывания:
qк=14,804·650,56-20=9334,81 Вт/м2
Определим плотность лучистого теплового потока по формуле:
qл=εпр·с0·T11004-T21004;Вт/м2
где:
с0=5,67 Вт/(м2·К4) – коэффициент излучения абсолютно черного тела;
T1 – абсолютная температура стальной плиты, К;
T2 – абсолютная температура воздуха, К;
εпр – приведенная степень черноты, определяется по формуле:
εпр=11ε1-1ε2-1
где:
ε1=0,55 по заданию – степень черноты стали;
ε2 = 0,25 по заданию – степень черноты воздуха;
εпр=110,55+10,25-1=0,2075
Плотность лучистого теплового потока:
- в начальный момент времени:
qл=0,2075·5,67·720+2731004-20+2731004=11352,56 Вт/м2
- через час после остывания:
qл=0,2075·5,67·650,56+2731004-20+2731004=8473,05 Вт/м2
Распределение температуры по толщине плиты:
Тепловой поток в любой точке плиты определяется по формуле:
q=λδitст1-tcт2;Вт/м2
Отсюда можно найти температуру в любой точке плиты и построить график зависимости температуры от координаты x