Совхоз закупает удобрения двух типов. В единице массы удобрения 1 вида содержится 3 усл ед

Составить наиболее экономичный план закупки удобрений (в расчете на 1 га), если цены удобрений (на 1 ед.массы) таковы: 1 вида - 3 ден. ед., 2 вида - 2 ден. ед.
Номер
удобрения Вещество Цена
ден. ед.,
a b c
1 3 2 1 3
2 1 1 1 2
Требуется на 1га 9 8 6
Введем обозначения в задаче:
Переменные:
х1- масса удобрений 1 вида;
х2 масса удобрений 1 вида;
3х1+2х2
Z =3х1+2х2 – целевая функция – минимум стоимости удобрений на 1га, денежные единицы.
Первое ограничение по количеству вещества a 3х1+х2≥9
Второе ограничение по количеству вещества b 2х1+х2≥8
Второе ограничение по количеству вещества c х1+х2≥6
Условия неотрицательности переменных:
х1 ≥0
х2 ≥0
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 3x1+2x2 при следующих условиях-ограничений.3x1+x2≥92x1+x2≥8x1+x2≥6Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x3 со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x4 со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x5 со знаком минус.3x1+x2-x3 = 92x1+x2-x4 = 8x1+x2-x5 = 6Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
3 1 -1 0 0 9
2 1 0 -1 0 8
1 1 0 0 -1 6
Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.1 . В качестве базовой переменной можно выбрать x3.Получаем новую матрицу:
-3 -1 1 0 0 -9
2 1 0 -1 0 8
1 1 0 0 -1 6
2. В качестве базовой переменной можно выбрать x4.Получаем новую матрицу:
-3 -1 1 0 0 -9
-2 -1 0 1 0 -8
1 1 0 0 -1 6
3. В качестве базовой переменной можно выбрать x5.Получаем новую матрицу:
-3 -1 1 0 0 -9
-2 -1 0 1 0 -8
-1 -1 0 0 1 -6
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (3,4,5).Выразим базисные переменные через остальные:x3 = 3x1+x2-9x4 = 2x1+x2-8x5 = x1+x2-6Подставим их в целевую функцию:F(X) = 3x1+2x2Среди свободных членов bi имеются отрицательные значения, следовательно, полученный базисный план не является опорным.Вместо переменной x3 следует ввести переменную x2.Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5
x2 9 3 1 -1 0 0
x4 1 1 0 -1 1 0
x5 3 2 0 -1 0 1
F(X0) -18 -3 0 2 0 0
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B x1 x2 x3 x4 x5
-9 : -1 -3 : -1 -1 : -1 1 : -1 0 : -1 0 : -1
-8-(-9 • -1):-1 -2-(-3 • -1):-1 -1-(-1 • -1):-1 0-(1 • -1):-1 1-(0 • -1):-1 0-(0 • -1):-1
-6-(-9 • -1):-1 -1-(-3 • -1):-1 -1-(-1 • -1):-1 0-(1 • -1):-1 0-(0 • -1):-1 1-(0 • -1):-1
Выразим базисные переменные через остальные:x2 = -3x1+x3+9x4 = -x1+x3+1x5 = -2x1+x3+3Подставим их в целевую функцию:F(X) = 3x1+2(-3x1+x3+9)илиF(X) = -3x1+2x3+183x1+x2-x3=9x1-x3+x4=12x1-x3+x5=3При вычислениях значение Fc = 18 временно не учитываем.Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
A = 3 1 -1 0 0
1 0 -1 1 0
2 0 -1 0 1
Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x2, x4, x5Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:X0 = (0,9,0,1,3)Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5
x2 9 3 1 -1 0 0
x4 1 1 0 -1 1 0
x5 3 2 0 -1 0 1
F(X0) 0 3 0 -2 0 0
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.Итерация №0.1