Составить задачу математически определить её тип и найти решение

Для поперечных отклонений струны u(x,t) имеем следующую смешанную задачу для одномерного волнового уравнения
utt=9uxx+20e-tcosx, 0<x<π, t>0,
(1)
граничные условия (свободные края)
uxx=0=0, uxx=π=0,
(2)
начальные условия
ut=0=2cosx, utt=0=cosx.
(3)
Найдем собственные функции соответствующей однородной начально-краевой задачи с однородным волновым уравнением
utt=9uxx, 0<x<π, t>0.
(4)
Применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (4)
Xx∙T''t=9X''x∙Tt
Разделим равенство на 9Xx∙T(t)
T''(t)9T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
X''(x)+λXx=0,
T''t+9λTt=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
uxx=0=X'0⋅Tt=0, uxx=π=X'π⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X'0=0, X'π=0.
(5)
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X'0=0, X'π=0
При λ>0 общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx,
X'x=-C1λsinλx+C2λ cosλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий (5)
X'0=C2λ=0 X'π=-C1λsinλπ+C2λ cosλπ=0 ⇒ C2=0 C1λsinλπ=0
Поскольку λ≠0, C1≠0, то получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sinλπ=0,
λnπ=πn, n=1,2,3,…
Собственные значения задачи равны
λn=n2, n=1,2,3,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=cosnx, n=1,2,3,…
При λ=0 уравнение для X0(x) примет вид
X0''x=0
Общее решение имеет вид
X0x=C1x+C2
Подставляем в граничные условия
X'0=C1=0 X'π=C1=0
Тогда
X0x=1.
Решение ux,t исходной неоднородной задачи (1) − (3) будем искать в виде ряда по собственным функциям однородной задачи
ux,t=n=0∞TntXnx=T0t+n=1∞Tntcosnx.
Подставим функцию ux,t в исходное неоднородное уравнение (1)
T0''t+n=1∞Tn''tcosnx=-9n=1∞n2Tntcosnx+20e-tcosx,
и в начальные условия (3)
ut=0=T00+n=1∞Tn0cosnx=2cosx,
utt=0=T0'0+n=1∞Tn'0cosnx=cosx.
Учитывая полноту системы собственных функций 1,cosnxn=1∞ на отрезке 0;π и сравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях cosnx, из последних трех соотношений получим следующие задачи Коши для функций Tnt
при n=0:
T0''t=0 T00=0, T0'0=0
при n=1:
T1''t=-9T1t+20e-t, T10=2, T1'0=1
при n≠1:
Tn''t=-9n2Tnt Tn0=0, Tn'0=0
Решим их