Составить схему заданной сложной цепи так

Составим схему заданной сложной цепи так без пересечений отдельных ветвей между собой (рис.1).
Рисунок 1. Схема сложной резистивной цепи
2. Определим токи в ветвях схемы методом законов Кирхгофа.
Схема на рис. 1 имеет n=5 узлов и m=8 ветвей. Система уравнений по законам Кирхгофа будет состоять из 8 уравнений (по количеству ветвей), из которых n-1=4 уравнения по первому закону Кирхгофа и m-n-1=8-5-1=4 - по второму закону.
Запишем систему уравнений:
- по первому закону Кирхгофа токи, входящие в узел записываются со знаком «+», выходящие из узла – со знаком «-»;
- по второму закону Кирхгофа: сумма падений напряжений на резистивных элементах равна сумме ЭДС источников напряжений с учетом направлений токов и напряжений при обходе контуров:
-I12-I13-I14-J14=0-1 узелI12-I23-I24-I25-J23-J24=0-2 узелI13+I23-I35+J23=0-3 узелI14+I24-I45+J14+J24-J45=0-4 узелI13R13-I23R23-I12R12=-E12-E23- 1 конурI23R23+I35R35-I25R25=E23+E35-E25- 2 конурI12R12+I24R24-I14R14=E12-E14- 3 конурI25R25-I45R45-I24R24=E25- 4 конур.
Подставим в систему данные задачи:
I12+I13+I14=1,77-1 узелI12-I23-I24-I25=0,4-2 узелI13+I23-I35=-2,32-3 узелI14+I24-I45=4,68-4 узел-158I12+271I13-311I23=-945- 1 конур311I23-177I25+262I35=396- 2 конур158I12-94I14+215I24=-411- 3 конур-215R24+177I25-132I45=221- 4 конур
Выпишем коэффициенты при неизвестных токах в табличной форме:
I12
I13
I14
I23
I24
I25
I35
I45
1 1 1 0 0 0 0 0 1,77
1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0,4
0 1 0 1 0 0 -1 0 -2,32
0 0 1 0 1 0 0 -1 4,68
-158 271 0 -311 0 0 0 0 598
0 0 0 311 0 -177 262 0 -945
158 0 -94 0 215 0 0 0 -411
0 0 0 0 -215 177 0 -132 221
Решим систему по формулам Крамера:
∆=67365266913; ∆1=-57934654633; ∆2=-51315360161;
∆3=2,28487∙1011; ∆4=-1,44814∙1011; ∆5=13694349908;
∆6=46239090577; ∆7=-39842142806; ∆8=-73088562015.
Найдем токи по формулам (расчеты определителей выполним в Excel):
I12=∆1∆, I13=∆2∆, I14=∆3∆, I23=∆4∆, I24=∆5∆, I25=∆6∆, I35=∆7∆, I45=∆8∆
и найденные значения выпишем в таблицу:
I12
I13
I14
I23
I24
I25
I35
I45
-0,86 -0,76 3,39 -2,15 0,20 0,69 -0,59 -1,08
3. Определим токи в ветвях схемы методом контурных токов. На рисунке 2 изображены 4 независимых конура, стрелками показаны контурные токи. Запишем систему в общем виде:
R12+R13+R23IкI-R23IкII-R12IкIII=-E12-E23-R23J23-R23IкI+R23+R25+R35IкII-R25IкIV=E23+E35-E25+R23J23-R12IкI+R12+R14+R24IкIII-R24IкIV=E12-E14+R24J24-R14J14-R25IкII-R24IкIII+R24+R25+R45IкIV=E25-R24J24-R45J45.
Подставим данные:
158+271+311IкI-311IкII-158IкIII=226+372-311∙2,32-311IкI+311+177+262IкII-177IкIV=-372-352-0,99+311∙2,32-158IкI+158+94+215IкIII-215IкIV=-226-185-215∙1,92+94∙1,97-177IкII-215IкIII+215+177+132IкIV=221-215∙1,92-132∙0,99;
740IкI-311IкII-158IкIII=-123,52-311IкI+750IкII-177IкIV=-223,48-158IкI+467IкIII-215IкIV=-657,42-177IкII-215IкIII+524IкIV=503,12.
IкI
IкII
IкIII
IкIV
740 -311 -158 0 -123,52
-311 750 0 -177 -223,48
-158 0 467 -215 -657,42
0 -177 -215 524 503,12
Решим систему по формулам Крамера:
∆=67365266913; ∆1=-51315360161; ∆2=-39842142806;
∆3=-1,0925∙1011; ∆4=6396947771.
Найдем токи по формулам (расчеты определителей выполним в Excel):
IкI=∆1∆=-0,76, IкII=∆2∆=-0,59, IкIII=∆3∆=-1,62, IкIV=∆4∆=0,09.
Найдем токи в ветвях:
I12=IкIII-IкI=-1,62+0,76=-0,86, I13=IкI=-0,76,
I14=-IкIII-J14=1,62+1,77=3,39;
I23=IкII-IкI-J23=-0,59+0,76-2,32=-2,15,
I24=IкIII-IкIV-J24=-1,62-0,09+1,92=0,21,
I25=IкIV-IкII=0,09+0,59=0,68,
I35=IкII=-0,59,I45=-IкIV+J45=0,09+0,99.
Значения токов совпали с найденными во втором пункте, кроме I24 и I25, которые отличаются на 0,01, что допустимо с учетом погрешностей при вычислениях .
4. Определим токи в ветвях схемы методом узловых потенциалов. Примем узел 5 базовым: φ5=0. Выразим токи в ветвях через потенциалы в узлах, используя обобщенный закон Ома:
Ipq=φp-φq+EpqRpq=φp-φq+EpqGpq, где
Gpq=1Rpq-проводимость ветви pq.
I12=φ1-φ2+E12G12;
I13=φ1-φ3G13;
I14=φ1-φ4+E14G14;
I23=φ2-φ3+E23G23;
I24=φ2-φ4G24;
I25=φ2-φ5+E25G25=φ2+E25G25;
I35=φ3-φ5+E35G35=φ3+E35G35;
I45=φ4-φ5G45=φ4G45.
Подставим найденные выражение токов в 4 уравнения первого закона Кирхгофа:
φ1-φ2+E12G12+φ1-φ3G13+φ1-φ4+E14G14=-J14φ1-φ2+E12G12-φ2-φ3+E23G23-φ2-φ4G24-φ2+E25G25=J23+J24φ1-φ3G13+φ2-φ3+E23G23-φ3+E35G35=-J23φ1-φ4+E14G14+φ2-φ4G24-φ4G45=-J14-J24+J45
G12+G13+G14φ1-G12φ2-G13φ3-G14φ4=-J14-E12G12-E14G14G12φ1-G12+G23+G24+G25φ2+G23φ3+G24φ4=J23+J24-E12G12+E23G23+E25G25G13φ1+G23φ2-G13+G23+G35φ3=J23+J24-E23G23+E35G35G14φ1+G24φ2-G14+G24+G45φ4=-J14-J24+J45-E14G14
Выполним предварительные расчеты:
1-2 1-3 1-4 1-5 2-3 2-4 2-5 3-4 3-5 4-5
R (Ом) 158 271 94 - 311 215 177 - 262 132
E (В) -226 - 185 - -372 - 221 - -352 -
G(Ом-1) 0,0063 0,0037 0,0106  - 0,0032 0,0047 0,0056 - 0,0038 0,0076
EG (А) -1,4304
1,9681
-1,1961
1,2486
-1,3435
0,0207φ1-0,0063φ2-0,0037φ3-0,0106φ4=1,23230,0063φ1-0,0198φ2+0,0032φ3+0,0047φ4=1,88280,0037φ1+0,0032φ2-0,0107φ3=-2,46740,0106φ1+0,0047φ2-0,0229φ4=2,7119
4757105810910011. Выполним расчет токов в ветвях схемы в матричной форме методом узловых потенциалов: G∙φ=EG+J, где
G=
G12+G13+G14
-G12
-G13
-G14
-G12
G12+G23+G24+G25
-G23
-G24
-G13
-G23
G23+G13+G35
0
-G14
-G24
0 G14+G24+G45
матрица, симметричная относительно главной диагонали, все элементы которой, кроме главной диагонали, либо отрицательные, либо равны 0 gpq=0, если между узлами p и q нет резистивного элемента, и равны по модулю проводимости соответствующей ветви. На главной диагонали – суммы проводимостей ветвей, с общим узлом.
321119590170000EG+J- столбец, в который со знаком «+» записываются ЭДС, умноженные на соответствующую проводимость и токи источников, входящие в данный узел, с «-» - выходящие.
-9067315695000,0207 -0,0063 -0,0037 -0,0106 22860635000φ1
= 1,2323
-0,0063 0,0198 -0,0032 -0,0047 φ2
-1,8828
-0,0037 -0,0032 0,0107 0 φ3
2,4674
-0,0106 -0,0047 0 -0,0229 φ4
-2,7119
Нетрудно заметить, что такое же матричное уравнение можно получить из коэффициентов системы уравнений (пункт 4):
0,0207φ1-0,0063φ2-0,0037φ3-0,0106φ4=1,23230,0063φ1-0,0198φ2+0,0032φ3+0,0047φ4=1,88280,0037φ1+0,0032φ2-0,0107φ3=-2,46740,0106φ1+0,0047φ2-0,0229φ4=2,7119
если все уравнения, кроме 1, умножить на -1.
493395-1333500
G= 0,0207 -0,0063 -0,0037 -0,0106
0,0063 -0,0198 0,0032 0,0047
0,0037 0,0032 -0,0107 0
0,0106 0,0047 0 -0,0229
163516324828500
EG+J=
1,2323
1,8828
-2,4674
2,7119
Решение системы будет:
52347728252800φ=G-1∙EG
G-1= 107,53 57,56 54,27 61,74
57,56 86,56 45,77 44,39
54,27 45,77 125,66 34,56
61,74 44,39 34,56 81,49
φ=-9,39-99,51197,04-143,21
Найдем токи:
I12=-9,39+99,51-226∙0,0063=-0,86;
I13=-9,39-197,04∙0,0037=-0,76;
I14=-9,39+143,21+185∙0,0106=3,39;
I23=-99,51-197,04-372∙0,0032=-2,15;
I24=-99,51+143,21∙0,0047=0,20;
I25=-99,51+221∙0,0056=0,69;
I35=197,04-352∙0,0038=-0,59;
I45=-143,21∙0,0076=-1,08.
Все методы дали одинаковый результат.
5. Найдем напряжения на резистивных элементах схемы по формуле:
Upq=IpqRpq