СМО многоканальная с неограниченной очередью

1. Запишем состояния СМО:
S0 – СМО свободна, составов на сортировочной горке нет;
S1 – одна из сортировочных горок занята, очереди нет;
S2 – заняты две сортировочные горки, очереди нет;
S3 – заняты все две сортировочные горки, причем один состав в очереди;
……………………………………………
Sn+r – две горки n=2 заняты обслуживанием состава, r составов в очереди и так далее.
Теоретически число состояний не ограничено (бесконечно).
Граф состояний примет вид:
2. Из условия задачи известно, что интенсивность потока равна λ=100 составовчас, а среднее время обслуживания tобсл.=11 мин=1160 час.
Тогда параметры системы
μ=1tобсл.=11160=6011=5,45 1час;
ρ=λμ=λ∙tобсл.=100∙1160=100∙1160≈18,33>1
Так как ρn=18,332=9,167>1, то предельные вероятности не существуют, очередь растет бесконечно.
Вероятность того, что в узле разгрузки будет очередь равна:
Pоч=18,3332!∙2-18,33∙0,1=-188,57
Среднее число автомашин, находящихся в очереди, равно
Lоч=nn-ρ∙Pоч=22-18,33∙-188,57≈23,09 (составов)
Среднее число автомашин в системе
Lсист=Lоч+ρ=23,09+18,33≈41,43 (составов)
Среднее время пребывания автомашины в очереди и среднее время пребывания автомашины в системе находим по формулам Литтла и в итоге имеем:
Tоч=1λ∙Lоч=1100∙23,09≈0,2309 час
Tсист=1λ∙Lсист=1100∙41,43≈0,4143 час
Коэффициент занятых обслуживанием кранов вычисляется по следующей формуле:
k=ρn=18,332≈9,17
3 . Нас будут интересовать те состояния, при которых составы попадают на внешний путь:
S5 – один состав на горке, три в очереди на запасных путях станции, один на внешних путях;
S6 – один на горке, три на запасных путях, два на внешних путях и так далее.
Вычислим стационарные вероятности состояний СМО:
λ=100 составовчас; tобсл.=1160 час.; μ=6011 1час;
ρ=2∙1160=1130=0,367 ρ0=1-ρ=1-0,367=0,633
Вероятности состояний системы Si находим по формуле
pi=p0ρii!, где i=1, 2, 3, 4.
Тогда
p1=p0ρ11!=0,633∙0,36711!=0,232311;
p2=p0ρ22!=0,633∙0,36722=0,042629069;
p3=p0ρ33!=0,633∙0,36736=0,005214956;
p4=p0ρ44!=0,633∙0,367424=0,000478472.
Теперь найдем вероятность того, что прибывающий состав попадает на внешний путь
pA=p4+p5+p6+p7+…=ρ1-ρ1+ρ+ρ2+…=ρ41-ρ1-ρ=ρ4
pA=ρ4=0,3674=0,00075588
Таким образом, в 0,08 % случаев состав попадает на внешний путь.
Вычислим коэффициенты эффективности работы горки.
Среднее число составов в очереди
rО=ρ21-ρ=0,36721-0,367≈0,212778831 состава
Среднее время пребывания состава в очереди на обслуживание
tО=ρ2λ∙1-ρ=0,3672100∙1-0,367≈0,00212778831 часа=0,127667299 мин
Среднее число составов обслуживаемых или ожидающих очереди
zсист=ρ1-ρ=0,3671-0,367≈0,579778831
Время нахождения состава в приемно-отправочном парке
tсист=zсистλ=0,579778831100=0,00579778831 часа=0,3479 мин
Таким образом, составу приходится более 0,3 минут стоять в очереди.
Вычислим среднее время ожидания на внешних путях