Смесь газов с начальными параметрами P1 и T1 расширяется до конечного объема V2 = α·V1

Состав смеси задан парциальными объёмами,
VN2=2,5 м3;
VH2=7,5 м3;
Начальный объём газовой смеси равен сумме парциальных объёмов:
Vсм=VN2+VH2=2,5+7,5=10 м3.
Найдём объёмные доли компонентов смеси
rN2=VN2VN2+VH2=2,52,5+7,5=2,510=0,25 м3;
rH2=VH2Vсм=7,510=0,75 м3.
Проверка:
i=12ri=0,25+0,75=1.
Молярные массы компонентов смеси находим по таблице Менделеева:
азот μN2=28кгкмоль;
водород μH2=2кгкмоль.
Молярная масса смеси может быть найдена
μсм=i=12ri∙μi=0,25∙28+0,75∙2=8,5 кгкмоль.
Газовая постоянная смеси
Rсм=R0μсм=83148,5=978,12 Джкг∙К.
где R0=8314Джкмоль∙К- универсальная газовая постоянная.
Масса газовой смеси
находится из уравнения состояния идеального газа (Менделеева-Клапейрона)
mсм=p1∙VсмRсм∙T1=5,6∙106∙10978,12∙1900=30,133 кг .
Конечные параметры газовой смеси, работа расширения, теплота процесса, изменение внутренней энергии и энтропии зависят от характера процесса расширения.
Изотермическое расширение
V2=αV1=αVсм=11∙10=110 м3.
T2=T1=1900 К
p2=p1α=5,6∙10611=0,5091∙106Па=0,5091 МПа,
или
p2=mсм∙Rсм∙T2V2=30,133∙978,12∙1900110=0,5091∙106Па=0,5091 МПа.
Изменение внутренней энергии равно нулю, т.к. ∆T=0:
∆U=0.
Работа расширения
L=mRT∙lnV2V1=mRT∙lnα;
L=30,133∙978,12∙1900∙ln11=1,34282∙108 Дж=134,282 МДж.
Теплота процесса равна работе по первому началу термодинамики:
Q=L=1,34282∙108 Дж=134,282 МДж.
Изменение энтропии:
∆S=QT=1,34282∙1081900=7,06748∙104ДжК=70,675кДжК.
Адиабатное расширение
V2=αV1=αVсм=11∙10=110 м3.
Давление из уравнения адиабаты
p2p1=V1V2k=1αk=α-k ;
где k- показатель адиабаты газовой смеси, для смеси двухатомных газов согласно молекулярно-кинетической теории газов
k=1,4 .
p2=p1αk=5,6∙106111,4=0,1951∙106Па=0,1951 МПа.
Температура из уравнения адиабаты
T2T1=V1V2k-1=1αk-1=α1-k ;
T2=T1αk-1=1900111,4-1=728,11 К,
иначе:
T2=p2∙V2mсм∙Rсм=0,1951∙106∙11030,133∙978,12=728,1092 К.
Изменение температуры в адиабатном процессе
∆T=T2-T1=728,1092-1900=-1171,89 К.
Теплота адиабатного процесса
Q=0.
Изменение энтропии в обратимом адиабатном процессе:
∆S=0.
Работа расширения
L=mRk-1T1-T2=mRk-1-∆T;
L=30,133∙978,121,4-1∙1171,89=8,63498 ∙107 Дж=86,350 МДж.
Изменение внутренней энергии в адиабатном процессе можно найти из первого начала термодинамики:
∆U=-L=-8,63498 ∙107 Дж=-86,350 МДж.
Политропное расширение
V2=αV1=αVсм=11∙10=110 м3.
Давление из уравнения политропы
p2p1=V1V2n=1αn=α-n ;
где n- показатель политропы газовой смеси, задан в условии задачи:
n=1,22 .
p2=p1αk=5,6∙106111,22=0,3004∙106Па=0,3004 МПа.
Температура из уравнения политропы
T2T1=V1V2n-1=1αn-1=α1-n ;
T2=T1αn-1=1900111,22-1=1121,11 К,
иначе:
T2=p2∙V2mсм∙Rсм=0,0,3004∙106∙11030,133∙978,12=1121,1074 К.
Изменение температуры в политропном процессе
∆T=T2-T1=1121,1074-1900=-778,89 К.
Работа расширения
L=mRn-1T1-T2=mRn-1-∆T;
L=30,133∙978,121,22-1∙778,89=1,04349∙108 Дж=104,349 МДж.
Теплота политропного процесса
Q=m∙cn∙∆T.
где cn- удельная теплоёмкость политропного процесса
cn=cvn-kn-1,
cv- удельная изохорная теплоёмкость смеси газов . Если предположить, что компоненты смеси являются идеальными газами, теплоёмкость которых не зависит от температуры и давления, изохорную теплоёмкость можно найти как
cv=Rk-1=978,121,4-1=2445,294 Джкг∙К ;
тогда
cn=cvn-kn-1=2445,2941,22-1,41,22-1=-2000,7 Джкг∙К ;
теплота процесса
Q=30,133∙-2000,7∙-778,89=4,69572∙107 Дж=46,957 МДж.
Теплота в данном процессе расширения подводится.
Изменение энтропии в обратимом политропном процессе:
∆S=m∙cn∙lnT2T1 ;
∆S=30,133∙-2000,7∙ln1121,1071900=31803,66ДжК=31,804кДжК .
Изменение внутренней энергии в политропном процессе
∆U=m∙cv∙∆T=30,133∙2445,294∙-778,89=-5,73921∙107 Дж==-57,392 МДж.
Проверка выполнения первого начала термодинамики:
Q=∆U+L;
Q-∆U-L=0;
4,69572∙107—5,73921∙107-1,043493∙108=
=4,69572+5,73921-10,43493∙107=0;
Таблица результатов расчета приведена ниже.
Таблица 3.1.1. Результаты расчета параметров процессов расширения в предположении независимости теплоёмкости газовой смеси от температуры
Параметр изотерма политропа адиабата
T=const n= const S=const
V2, м3
110 110 110
T2, К
1900 1121,11 728,11
p2, МПа
0,509091 0,300392 0,195091
ΔT, К 0 -778,89
-1171,89
cn, Джкг∙К
-∞
-2000,7
0
L, МДж 134,28 104,35 86,350
Q, МДж 134,28 46,957 0
ΔU, МДж 0 -57,392 -86,350
ΔS, кДж/К 70,675 31,804 0
Выводы:
В политропном процессе расширение сопровождается внешним подводом теплоты, но работа расширения больше подведенной теплоты, поэтому работа частично совершается за счет внутренней энергии рабочего тела, что приводит к падению температуры и отрицательной теплоёмкости политропного процесса.
Максимальная работа расширения — в изотермическом процессе, минимальная — в адиабатном.
При высоких рабочих температурах и значительных перепадах температуры в процессе необходимо учитывать зависимость теплоёмкости от температуры.
Пересчитаем адиабатный и политропный процессы с учетом зависимостей удельной изохорной теплоёмкости и показателя адиабаты от температуры.
Адиабатный процесс
По таблице 4.1 Приложения 1 пособия [1] находим среднюю удельную массовую изохорную теплоёмкость азота и водорода для двух температур: T1=1900 К=1627 ℃ и T2=728,11, К=455 ℃