Случайные величины ξ и η имеют следующий совместный закон распределения

Для удобства представим совместный закон распределения в виде таблицы
ξ=-1
ξ=0
η=-1
16
16
η=0
16
16
η=1
16
16
Выписать одномерные законы распределения случайных величин ξ и η, вычислить математические ожидания Mξ, Mη и дисперсии Dξ, Dη.
Случайная величина ξ может принимать значения -1, 0 с соответствующими вероятностями
Pξ=-1=16+16+16=36=12=0,5
Pξ=0=16+16+16=36=12=0,5
Закон распределения случайной величины ξ имеет вид
ξ
-1 0
pi
0,5 0,5
Случайная величина η может принимать значения -1, 0, 1 с соответствующими вероятностями
Pη=-1=16+16=13≈0,3333
Pη=0=16+16=13≈0,3333
Pη=1=16+16=13≈0,3333
Закон распределения случайной величины η имеет вид
η
-1 0 1
pj
13
13
13
Математические ожидания
Mξ=-1∙0,5+0∙0,5=-0,5
Mη=-1∙13+0∙13+1∙13=-13+13=0
Дисперсии
Dξ=Mξ2-M2ξ=-12∙0,5+02∙0,5--0,52=0,5-0,25=0,25
Dη=Mη2-M2η=-12∙13+02∙13+12∙13-02=13+13=23≈0,6667
Найти ковариацию Covξ,η и коэффициент корреляции ρξ,η.
Ковариация
Covξ, η=Mξη-Mξ∙Mη=-1∙-1∙16+-1∙0∙16+0∙-1∙16+0∙0∙16+1∙-1∙16+1∙0∙16--0,5∙0=16-16=0
Корреляция
ρξ, η=Covξ, ηDξ∙Dη=00,25∙0,6667=0
Выяснить, зависимы или нет события ξ=-1 и ξ=η.
Вероятности
Pξ=-1, η=-1=16; Pξ=-1∙P η=-1=0,5∙13=16
Так как Pξ=-1, η=-1=Pξ=-1∙P η=-1, то события ξ=-1 и η=-1 независимы.
Составить условный закон распределения случайной величины γ=ξη=0 и найти Mγ и Dγ.
Найдем условные вероятности возможных значений ξ при условии, что η принимает значение 0
pξ=-1η=0=pξ=-1,η=0pη=0=1613=12=0,5
pξ=0η=0=pξ=0,η=0pη=0=1613=12=0,5
Условный закон распределения γ=ξη=0 имеет вид
γ
-1 0
p
0,5 0,5
Математическое ожидание
Mγ=-1∙0,5+0∙0,5=-0,5
Дисперсия
Dγ=Mγ2-M2γ=-12∙0,5+02∙0,5--0,52=0,5-0,25=0,25