Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей (интегральной функцией) F(x)

Функцию плотности распределения вероятностей найдем как производную от функции распределения:
fx=F'x=0, x≤3π4-2sin2x, 3π4<x≤π0, x>π
Математическое ожидание найдем по формуле:
MX=-∞∞xf(x)dx=-23π4πxsin2xdx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x dv=sin2xdx
du=dx v=-12cos2x
=-2-12xcos2xπ3π4+123π4πcos2xdx=xcos2xπ3π4-12sin2xπ3π4=
=πcos2π-3π4cos3π2-12sin2π+12sin3π2=π-12
Дисперсию найдем по формуле:
DX=-∞∞x2fxdx-M2X=-23π4πx2sin2xdx-π-122=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x2 dv=sin2xdx
du=2xdx v=-12cos2x
=-2-12x2cos2xπ3π4+3π4πxcos2xdx-π-122=
=x2cos2xπ3π4-23π4πxcos2xdx-π-122=π2-23π4πxcos2xdx-π-122=
=π-14-23π4πxcos2xdx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x dv=cos2xdx
du=dx v=12sin2x
=π-14-212xsin2xπ3π4-123π4πsin2xdx=π-14-xsin2xπ3π4+3π4πsin2xdx=
=π-14-3π4-12cos2xπ3π4=π4-14-12=π4-34
Построим графики функции распределения вероятностей и функции плотности вероятностей: