Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x). Найти коэффициент а

Найдем коэффициент а по свойству функции плотности распределения:
-∞∞fxdx=1
Получаем:
-∞∞fxdx=-∞00dx+0πasinxdx+π∞0dx=-acosxπ0=
=-acosπ-cos0=-a-1-1=2a
2a=1⇒a=12
Получили
fx=0 при x<012sinx при 0≤x≤π0 при x>π
Найдем функцию распределения F(x) по определению
Fx=-∞xftdt
Получаем
Пусть x<0, тогда fx=0, тогда Fx=-∞xftdt=-∞x0dt=0
Пусть 0≤x≤π, тогда fx=12sinx, тогда Fx=-∞xftdt=-∞-10dt+0x12sintdt=-12costx0=-12cosx+12cos0
=-12cosx+12
Пусть x>π, тогда fx=0, тогда Fx=-∞xftdt=-∞00dt+0π12sintdt+x∞0dt=-12costπ0=
=-12cosπ+12cos0=12+12=1
Таким образом,
Fx=0 при x<0-12cosx+12 при 0≤x≤π1 при x>π
Найдем математическое ожидание:
MX=-∞+∞fxxdx =0π12sinx∙xdx=120πxsinxdx=
=интегрирование по частямudv=uv-vdu=u=x→du=dxdv=sinx→v=-cosx=
=-12xcosxπ0-120π-cosxdx=-12πcosπ-0+12sinxπ0=
=π2+12sinπ-sin0=π2+12∙0=π2
Найдем дисперсию:
DX=-∞+∞fxx2dx –MX2=0π12sinx∙x2dx-π22=
=120πx2sinxdx-π24=интегрирование по частямudv=uv-vdu=
=u=x2→du=2xdxdv=sinx→v=-cosx=-12x2cosxπ0-120π-2xcosxdx-π24=
=-12π2cosπ-0+0πxcosxdx-π24=Интегрирование по частямu=x→du=dxdv=cosx→v=sinx
=π22-π24+xsinxπ0-0πsinxdx=π24+0+cosxπ0=π24-1-1=
=π24-2=π2-84=0,467
График функций f(x)
График функций F(x)
Ответ