Следователь Носков неоднократно слышал от своей соседки что ее избивает муж

Решение следователя не законное, поскольку не соответствует норме ст. 20 УПК РФ.
Согласно ч. 2 ст. 20 УПК РФ уголовные дела о преступлениях, предусмотренных статьями 115 частью первой, 116.1 и 128.1 частью первой Уголовного кодекса Российской Федерации, считаются уголовными делами частного обвинения, и возбуждаются не иначе как по заявлению потерпевшего, его законного представителя, за исключением случаев, предусмотренных частью четвертой настоящей статьи, и подлежат прекращению в связи с примирением потерпевшего с обвиняемым.
Ч. 4 ст . 20 УПК РФ предусматривает следующие исключения: руководитель следственного органа, следователь, а также с согласия прокурора дознаватель возбуждают уголовное дело о любом преступлении, указанном в частях второй и третьей настоящей статьи (в том числе, по делу частного обвинения), и при отсутствии заявления потерпевшего или его законного представителя, если данное преступление совершено в отношении лица, которое в силу зависимого или беспомощного состояния либо по иным причинам не может защищать свои права и законные интересы. К иным причинам относится также случай совершения преступления лицом, данные о котором не известны.
Относительно трактовки беспомощного или зависимого состояния следует обратиться к Постановлению Пленума Верховного Суда РФ №17 «О практике применения судами норм, регламентирующих участие потерпевшего в уголовном судопроизводстве», где говорится, что уголовное дело частного обвинения может быть возбуждено в порядке, установленном частью 3 статьи 318 УПК РФ, в случаях, когда потерпевший в силу беспомощного состояния или по иным причинам не может защищать свои права и законные интересы