Системы массового обслуживания с отказами

1. Обозначим S0, S1, S2, S3, S4 – состояния СМО:
S0 – в системе все каналы свободны;
S1 – один канал занят, 3 − свободны;
S2 – два канала заняты, 2 − свободны;
S3 – три канала заняты, 1 − свободен;
S4 – все четыре канала заняты.
Следующая заявка, поступившая в СМО, получает отказ.
Граф системы массового обслуживания имеет вид
2. Из условия задачи известно интенсивность потока вызовов (поток заявок)
λ=0,7 1мин;
среднее время обслуживания
Тогда параметры системы
μ=1tобсл.=13,5=1035=27≈0,28571мин;
ρ=λμ=λ∙tобсл.=0,7∙3,5=2,45.
Находим предельные вероятности.
Вероятность, что все линии свободны (система в состоянии S0)
p0=i=04ρii!-1=1+ρ+ρ22!+ρ33!+ρ44!-1=1+2,45+2,4522+2,4536+2,45424-1=
=11+2,45+2,4522+2,4536+2,45424=110,40352109=0,096121303
Вероятности состояний системы Si находим по формуле
pi=p0ρii!, где i=1, 2, 3, 4.
Тогда
p1=p0∙ρ11!=0,096121303∙2,4511!=0,235497192;
p2=p0∙ρ22!=0,096121303∙2,4522=0,28848406;
p3=p0∙ρ33!=0,096121303∙2,4536=0,235595315;
p4=p0∙ρ44!=0,096121303∙2,45424=0,144302131.
Показатели эффективности работы АТС.
Вероятность отказа
Pотк=p4=0,144302131
Вероятность обслуживания поступившей заявки
Q=1-Pотк=1-0,144302131=0,855697869.
Среднее число заявок, обслуживаемое в единицу времени
A=λ∙Q=0,7∙0,855697869=0,598988509
Среднее число занятых каналов
zсист=k=ρ∙Q=2,45∙0,855697869=2,09645978
Время нахождения заявки в системе
tсист=zсистλ=2,096459780,7=2,994942543 мин.
Результаты расчетов позволяют сделать вывод, что при вероятности отказа 14,4 %, загруженность АТС составляет около 45% каналов.
4