Системы линейных алгебраических уравнений. Необходимые сведения из теории

1. Преобразуем систему к приведѐнному виду.
0,89x1-0,04x2+0,21x3-0,18x4=-1,240,25x1-1,23x2+0,12x3-0,09x4=-1,15-0,21x1+0,12x2+0,80x3-0,13x4=2,560,15x1-0,31x2+0,06x3-1,15x4=0,89
-x1+0,11x1+0,04x2-0,21x3+0,18x4=1,240,25x1-x2-0,23x2+0,12x3-0,09x4=-1,150,21x1-0,12x2-x3+0,20x3+0,13x4=-2,560,15x1-0,31x2+0,06x3-x4-0,15x4=0,89
Откуда
x1=0,11x1+0,04x2-0,21x3+0,18x4-1,24x2=0,25x1-0,23x2+0,12x3-0,09x4+1,15x3=0,21x1-0,12x2+0,20x3+0,13x4+2,56x4=0,15x1-0,31x2+0,06x3-0,15x4-0,89
Проверим условие сходимости итерационного процесса:
q1=0,11+0,04+0,21+0,18=0,54
q2=0,25+0,23+0,12+0,09=0,69
q3=0,21+0,12+0,20+0,13=0,66
q4=0,15+0,31+0,06+0,15=0,67
q=maxq1,q2,q3,q4=0,69
Условие сходимости выполняется.
x1(1)=0,11x1(0)+0,04x2(0)-0,21x3(0)+0,18x4(0)-1,24x2(1)=0,25x1(0)-0,23x2(0)+0,12x3(0)-0,09x4(0)+1,15x3(1)=0,21x1(0)-0,12x2(0)+0,20x3(0)+0,13x4(0)+2,56x4(1)=0,15x1(0)-0,31x2(0)+0,06x3(0)-0,15x4(0)-0,89
Формулы для оценки погрешности приближенного вектора:
ρxk,x≤qk1-qmaxxi(1)-xi(0)
ρxk,x≤q1-qmaxxi(k)-xi(k-1)
В качестве начального приближения выбираем столбец свободных членов.
Первая итерация:
x1(1)=0,11*-1,24+0,04*1,15-0,21*2,56+0,18*-0,89-1,24=-2,0282x2(1)=0,25*-1,24-0,23*1,15+0,12*2,56-0,09-0,89+1,15=0,9628x3(1)=0,21*-1,24-0,12*1,15+0,20*2,56+0,13-0,89+2,5=2,55796x4(1)=0,15*-1,24-0,31*1,15+0,06*2,56-0,15-0,89-0,89=-1,1454
maxxi1-xi0=max-2,0282+1,24;0,9628-1,15;2,55796-2,56;-1,1454+0.89=0,7882
q1-q*maxxi1-xi0=1,754381>ε
Выведем результаты вычислений всех приближений в таблицу:
k x1
x2
x3
x4
εk
0 -1,24 1,15 2,56 -0,89
1 -2,0282 0,9628 2,5579 -1,1454 1,754381
2 -2,16792 0,83154 2,38122 -1,16741 0,393255
3 -2,1554 0,807579 2,329432 -1,15498 0,11527
4 -2,14187 0,808887 2,326195 -1,15065 0,03012
5 -2,13887 0,811191 2,328796 -1,14987 0,006679
6 -2,13885 0,811653 2,329772 -1,15009 0,002171
7 -2,13908 0,811688 2,329885 -1,15014 0,000501
8 -2,13913 0,811642 2,32985 -1,15017 0,000125
4