Сельскохозяйственное предприятие может досеять одну их трех культур А1
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Сельскохозяйственное предприятие может досеять одну их трех культур А1, А2, А3. Необходимо определить какую из культур сеять, если при прочих равных условиях урожаи этих культур зависят от погоды, а статистические данные о погодных условиях отсутствуют. План посева должен обеспечить наибольший доход. Состояния погоды можно охарактеризовать тремя вариантами: П1 - сухо, П2 - нормально, П3 - влажно. Урожайность культур в зависимости от состояния погоды и цены каждой культуры приведены в таблице:
А1 А2 А3
П1 20 7,5 0
П2 5 12,5 7,5
П3 15 5 10
Цена за 1 центнер в усл. ед. 2 4 8
1) Формализовать данную задачу в виде игры с природой, сформировать матрицу рисков и найти границы их изменения.
Критерий Байеса.
2) При планировании посева определить по Критерию Байеса относительно выигрышей, какую из культур выгоднее всего сеять сельхозпредприятию, если по предыдущей статистике вероятность сухой (П1), нормальной (П2) и влажной (П3) погоды равны соответственно 0,5; 0,3 и 0,2.
3) Определить культуру для посева, наиболее выгодную по Критерию Байеса относительно рисков.
Критерий Лапласа.
4) Найти чистую стратегию оптимальную по критерию Лапласа.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Игра парная, статистическая. В игре участвуют 2 игрока: руководство сельскохозяйственного предприятия и природа. Под природой в данном случае понимаем погодные условия.
1) Составим матрицу выигрышей сельскохозяйственного предприятия. Для нахождения элементов данной матрицы умножим урожайность каждой культуры в зависимости от состояния погоды на цену за центнер данной культуры.
Таким образом получим матрицу
Игроки П1 П2 П3
А1 40 10 30
А2 30 52 20
А3 0 60 80
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце bj = max(aij) характеризует благоприятность состояния природы.
Рассчитаем элементы матрицы рисков:
r11 = 40 - 40 = 0; r21 = 40 - 30 = 10; r31 = 40 - 0 = 40;
r12 = 60 - 10 = 50; r22 = 60 - 52 = 8; r32 = 60 - 60 = 0;
r13 = 80 - 30 = 50; r23 = 80 - 20 = 60; r33 = 80 - 80 = 0.
Таким образом, матрица рисков имеет вид:
Игроки П1 П2 П3
A1 0 50 50
A2 10 8 60
A3 40 0 0
2) При планировании посева по критерию Байеса относительно выигрышей, за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при которой максимизируется средний выигрыш.
Используя предыдущую статистику вероятности сухой (0,5), нормальной (0,3) и влажной (0,2) погоды определим средние выигрыши:
∑(a1,jpj) = 40*0.5 + 10*0.3 + 30*0.2 = 29
∑(a2,jpj) = 30*0.5 + 52*0.3 + 20*0.2 = 34.6
∑(a3,jpj) = 0*0.5 + 60*0.3 + 80*0.2 = 34
Для наглядности представим значения в таблице:
Ai
П1 П2 П3 ∑(aijpj)
A1 20 3 6 29
A2 15 15.6 4 34.6
A3 0 18 16 34
pj
0.5 0.3 0.2
Выбираем из полученных средних выигрышей (29; 34.6; 34) максимальный элемент max=34.6.
Таким образом, согласно критерию Байеса относительно выигрышей, сельскохозяйственному предприятию следует досеять культуру А2.
3
. При планировании посева по критерию Байеса относительно рисков, за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при которой минимизируется средний риск.
Используя предыдущую статистику вероятности сухой (0,5), нормальной (0,3) и влажной (0,2) погоды определим средние риски:
∑(a1,jpj) = 0*0.5 + 50*0.3 + 50*0.2 = 23
∑(a2,jpj) = 10*0.5 + 8*0.3 + 60*0.2 = 19,4
∑(a3,jpj) = 40*0.5 + 0*0.3 + 0*0.2 = 20
Для наглядности представим значения в таблице:
Ai
П1 П2 П3 ∑(aijpj)
A1 0 13 10 23
A2 5 2,4 12 19,4
A3 20 0 0 20
pj
0.5 0.3 0.2
Выбираем из полученных средних рисков (23; 19,4; 20) минимальный элемент min=19.4.
Таким образом, согласно критерию Байеса относительно рисков, сельскохозяйственному предприятию следует также досеять культуру А2.
4) Найти чистую стратегию оптимальную по критерию Лапласа.
Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:
q1 = q2 = ..
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
