Считая независимые выборки извлеченными из нормальных генеральных совокупностей X и Y

Найдем точечные оценки для X, для этого составим расчетную таблицу:
xi
ni
xini
xi2ni
2 2 4 8
4 1 4 16
5 4 20 100
7 5 35 245
8 3 24 192
11 2 22 242
12 1 12 144
∑ 18 121 947
MX=xB=1nxini=12118
Находим выборочную дисперсию, используя универсальную формулу ее вычисления DX=x2-x2. Имеем:
x2=1ni=1kxi2ni=94718
DX=x2-x2=94718-121182=2405324
Находим выборочное с.к.о.:
σX=DX=2405324≈2.72
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
S2X=nn-1*DX=1817*2405324≈7.86
Найдем точечные оценки для Y, для этого составим расчетную таблицу:
yi
ni
yini
yi2ni
7 3 21 147
10 4 40 400
18 4 72 1296
20 8 160 3200
24 3 72 1728
32 1 32 1024
∑ 23 397 7795
MY=yB=1nyini=39723
Находим выборочную дисперсию, используя универсальную формулу ее вычисления DY =y2-y2. Имеем:
y2=1ni=1kyi2ni=779523
DY=y2-y2=779523-397232=21676529
Находим выборочное с.к.о.:
σY=DY=21676529≈6.401
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
S2Y=nn-1*DY=2322*21676529≈42.84
Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:
H0: Dx = Dy;
Альтернативная гипотеза:
H1: Dx ≠ Dy;
Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера:
Fнабл=sb2sm2=2612.543=2.073
Поскольку sy2 > sx2, то sб2 = sy2, sм2 = sx2
Числа степеней свободы:
f1 = nу – 1 = 15 – 1 = 14
f2 = nx – 1 = 15 – 1 = 14
По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости α = 0.2 и данным числам степеней свободы находим Fкр(14;14) = 2.46
Т.к . Fнабл < Fкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу (т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны).
б) Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:
H0: Dx = Dy;
Альтернативная гипотеза:
H1: Dx > Dy;
Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера:
Fнабл=sb2sm2=2612.543=2.073Поскольку sy2 > sx2, то sб2 = sy2, sм2 = sx2
Числа степеней свободы:
f1 = nу – 1 = 15 – 1 = 14
f2 = nx – 1 = 15 – 1 = 14
По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости α = 0.05 и данным числам степеней свободы находим Fкр(14;14) = 2.46
Т.к. Fнабл < Fкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу (т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны).
2) 2. считая, что генеральные дисперсии хотя и неизвестны, но предполагаются одинаковыми при уровне значимости α=0.2 проверить нулевую гипотезу о равенстве средних генеральных совокупностей при конкурирующей гипотезе:
а) Проводим проверку гипотезы о равенстве генеральных средних (t-критерий Стьюдента):
H0: MX=MYАльтернативная гипотеза формулируется в соответствии с условиями задачи или эксперимента:
H1: MX≠MY(критическая область – двусторонняя)
Найдём экспериментальное значение критерия Стьюдента:
tнабл=6.6-815*11.707+15*24.267*15*15*15+15-215+15=0.873Число степеней свободы f = nх + nу – 2 = 15 + 15 – 2 = 28
Критическая область – двусторонняя: (-∞;-tkp)U(tkp;+∞).
Определяем значение tkp по таблице распределения Стьюдента
По таблице Стьюдента находим:
Tтабл(n1+n2-2;α/2) = Tтабл(28;0.1) = 28
tkp = 28
Экспериментальное значение критерия T не попало в критическую область T < tkp, поэтому нулевую гипотезу следует принять