С помощью метода наименьших квадратов на основании данных построить линейную модель зависимости чистого дохода компаний от использованного капитала

Зависимая переменная Y – Чистый доход компаний (в млрд. долл. США)
Фактор Х – Использованный капитал (в млрд. долл. США)
Линейная зависимость Y от X описывается уравнением
Y=a+b*X
Метод наименьших квадратов для расчета параметров a и b этого уравнения состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной Yi от модельных Yi:
Yi-Yi2=Yi-(a+bXi)2a,bmin
Чтобы решить задачу минимизации, то есть рассчитать a и b, нужно составить и решить относительно a и b систему нормальных уравнений
na+b∑Xi = ∑Yia∑Xi+b∑Xi2=∑XiYi
Либо можно воспользоваться готовыми формулами
b=X∙Y-X·YX2-X2
a=Y-b∙X
Таблица данных по варианту. Дополнительно проведем вспомогательные расчеты
b=12,73-9,11·1,09109,03-9,112=0,106
a=1,09-0,106∙9,11=0,127
Уравнение регрессии
Y=0,127+0,106*X
Параметр b=0,106 при факторе Х (использованный капитал, млрд . долл. США) показывает, что при увеличении X на 1 млрд. долл. чистый доход компаний Y увеличится на 0,106 млрд. долл. в среднем.
Графически оценим качество подгонки уравнением исходных данных. Изобразим статистические данные и график найденной зависимости
На графике видно, что точки фактических наблюдений отклоняются от линии регрессии. Можно сделать предположение о среднем качестве построенной модели. Для точной оценки качества нужно рассчитать коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации (по заданию не требовалось).
Значимость модели регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера.
Расчетное значение статистики Фишера в случае парной регрессии
Fрасч=Yi-Y2Yi-Yi2∙(n-2)
где
Yi-Y2 – факторная (объясненная уравнением) дисперсия зависимой переменной
Yi-Yi2 – остаточная дисперсия
n = 16 – количество наблюдений
Расчеты проведены с использованием Excel.
Fрасч=4,70474,2047∙16-2=15,665
Выбираем уровень значимости α=0,05