С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры

С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной x2+25y2=1.

Ответ

x0=0; y0=0.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

X2+25y2=1
x212+y2(1/5)2=1-
эллипс с центром в начале координат O(0;0) и полуосями: a=1;b=15.
Координаты центра тяжести, с учетом того, что поверхностная плотность равна 1, ищем по формулам:
x0=DxdxdyS; y0=DydxdyS,
где S=Ddxdy.
Перейдем к обобщенным полярным координатам.
x=ρcosφy=15ρsinφ⟹ρcosφ2+2515ρsinφ2=1⟹ρ2cos2φ+ρ2sin2φ=1.
Из условия cos2φ+sin2φ=1, имеем:
ρ2=1⟹ρ∈0;1.
Угол φ находится в пределах: φ∈0;2π.
dxdy=15ρdρdφ.
Тогда
S=Ddxdy=02πdφ0115ρdρ=1502πdφ∙ρ2201=1502πdφ∙122-022=15∙202πdφ=110∙φ02π=110∙2π-0=π5;
Dxdxdy=02πdφ0115ρ∙ρcosφdρ=1502πcosφdφ∙ρ3301=1502πcosφdφ∙133-033=15∙302πcosφdφ=115∙sinφ02π=115∙sin2π-sin0=0;
Dydxdy=02πdφ0115ρ∙15ρsinφdρ=12502πsinφdφ∙ρ3301=12502πsinφdφ∙133-033=12502πsinφdφ=125∙-cosφ02π=125∙-cos2π-(-cos0)=125∙-1+1=0;
Координаты центра тяжести:
x0=DxdxdyS=0π/5=0; y0=DydxdyS=0π/5=0.
Итак, точка центра тяжести M0;0.
Ответ: x0=0; y0=0.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу