Результаты измерений некоторой физической величины представлены в таблице:
i
1 2 3 4 5 6 7 8
ai;bi
-1; 1,5 1,5; 4 4; 6,5 6,5; 9 9; 11,5 11,5; 14 14; 16,5 16,5; 19
mi
4 7 13 30 21 16 6 3
Найти функцию распределения выборки Fn* и построить ее график.
Построить гистограмму относительных частот.
Найти числовые характеристики выборки: выборочное среднее x и исправленную выборочную дисперсию S2.
Используя функцию Лапласа, построить доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности γ=0,96.
С помощью критерия χ2 (Пирсона) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α=0,05.
Решение
N=100 – объем выборки.
∆x=2,5 – длина интервала.
Для нахождения эмпирической функции распределения Fn*(x), построения гистограммы относительных частот и вычисления числовых характеристик выборки дополним заданную таблицу следующими строками: строкой, в которой расположим средние точки xi* каждого интервала, строкой относительных частот min, строкой накопленных относительных частот j=1imjn и строкой, в которой вычислим высоты столбиков гистограммы относительных частот hi=min∙∆x.
i
1 2 3 4 5 6 7 8
ai;bi
-1; 1,5 1,5; 4 4; 6,5 6,5; 9 9; 11,5 11,5; 14 14; 16,5 16,5; 19
mi
4 7 13 30 21 16 6 3
xi*
0,25 2,75 5,25 7,75 10,25 12,75 15,25 17,75
min
0,04 0,07 0,13 0,3 0,21 0,16 0,06 0,03
j=1imjn
0,04 0,11 0,24 0,54 0,75 0,91 0,97 1
hi=min∙∆x
0,016 0,028 0,052 0,12 0,084 0,064 0,024 0,012
Эмпирическая функция распределения Fn*x определяется по значениям накопленных относительных частот, которые расположены в шестой строке таблицы. Эта функция имеет скачки в точках xi* - середина интервалов группированного статистического ряда.
Аналитическое выражение эмпирической функции распределения имеет вид
Fn*=0, x≤0,250,04, 0,25<x≤2,750,11, 2,75<x≤5,250,24, 5,25<x≤7,750,54, 7,75<x≤10,250,75, 10,25<x≤12,750,91, 12,75<x≤15,250,97, 15,25<x≤17,751, x>17,75
Построим гистограмму относительных частот, для этого на каждом интервале группированной выборки строим столбики, высотой которых вычислены в седьмой строке таблицы.
Найдем числовые характеристики выборки
. Выборочное среднее находим по формуле x=1ni=1kxi*mi, в нашем случае
x=1100∙0,25∙4+2,75∙7+5,25∙13+7,75∙30+10,25∙21+12,75∙16+15,25∙6+17,75∙3=1100∙1+19,25+68,25+232,5+215,25+204+91,5+53,25=885100=8,85
Исправленную выборочную дисперсию находим по формуле S2=1n-1i=1kxi*-x2mi, в нашем случае
S2=199∙0,25-8,852∙4+2,75-8,852∙7+5,25-8,852∙13+7,75-8,852∙30+10,25-8,852∙21+12,75-8,852∙16+15,25-8,852∙6+17,75-8,852∙3=199∙295,84+260,47+168,48+36,3+41,16+243,36+245,76+237,63=152999≈15,4444
При большом объеме выборки доверительный интервал для математического ожидания имеет вид
Jγmx=x-εγ;x+εγ, где εγ=S2nФ-1γ
Используя таблицу значений функции Лапласа, находим Ф-1γ=Ф-10,96=2,05.
Вычислим εγ=15,4444100∙2,05≈0,8056, тогда доверительный интервал для математического ожидания имеет вид
Jγmx=8,85-0,8056;8,85+0,8056
Jγmx=8,0444;9,6556
Выдвигаем простую гипотезу H0 о нормальном распределении генеральной совокупности
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
