Решите дифференциальное уравнение 1-го порядка

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 + r= 0
r(r+1)=0
Корни характеристического уравнения:
r1 = 0
r2 = -1
Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = e2*x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
= xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:
= Ae2x
Вычисляем производные:
y' = 2·A·e2x
y'' = 4·A·e2x
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + y' = (4·A·e2x) + (2·A·e2x) = e2·x
или
6·A·e2x = e2·x
6A = 1
A = 1/6;
Частное решение имеет вид:
y·=1/6e2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: