Решите систему уравнений 2x1-x2+5x3=4 5x1+2x2+13x3=2

А) по формулам Крамера
Вычислим главный определитель системы:
Δ=2-1552133-15=Используем правилотреугольника=2∙2∙5+-1∙13∙3+5∙-1∙5-5∙2∙3-13∙-1∙2--1∙5∙5=20-39-25-30+26+25=-23
Вычислим вспомогательные определители системы:
∆1=4-1522130-15=Используем правилотреугольника=4∙2∙5--1∙13∙0+2∙-1∙5-5∙2∙0-13∙-1∙4--1∙2∙5=40-10+52+10=92
∆2=2455213305=Раскладываем определительпо элементам первой строки=2∙-11+1∙21305+4∙-11+2∙51335+5∙-11+3∙5230=2∙10-0-4∙25-39+5∙0-6=
=20+56-30=46
∆3=2-145223-10=Раскладываем определительпо элементам первой строки=2∙-11+1∙22-10+-1∙-11+2∙5230+4∙-11+3∙523-1=2∙0+2+0-6+4∙-5-6=
=4-6-44=-46
Таким образом:
x1=Δ1Δ=92-23=-4,x2=Δ2Δ=46-23=-2,x3=Δ3Δ=-46-23=2
Б) с помощью обратной матрицы
Запишем систему уравнений в матричном виде A∙X=B, где A= 2-1552133-15, X= x1x2x3, B= 420 . Решение системы ищем тогда в виде X= A-1∙B, где A-1 – матрица, обратная к матрице системы A. Найдём её с помощью элементарных преобразований, приписав справа единичную матрицу размера 3×3:
2-1552133-15100010001~Умножим первую строку на 12~1-125252133-151200010001~Умножим первую строку на-5и прибавим ко 2-й строке~1-1252092123-151200-5210001~Умножим первую строку на-53и прибавим ко 3-й строке
~1-125209212012-521200-5210-3201~Умножим вторую строку на 29~1-12520119012-521200-59290-3201~Умножим вторую строку на-12и прибавим ко 3-й строке~1-1252011900-2391200-59290-119-191~Умножим третью строку на-923~
~1-125201190011200-592901123123-923~Умножим третью строку на-19и прибавим ко 2-й строке~1-12520100011200-14235231231123123-923~Умножим третью строку на-52и прибавим к 1-й строке~1-1252010001-1623-5464546-14235231231123123-923~
~Умножим вторую строку на-52и прибавим к 1-й строке~1-1252010001-1623-5464546-14235231231123123-923~Умножим вторую строку на 12и прибавим к 1-й строке~100010001-101-14235231231123123-923
Получили обратную матрицу:
A-1=-101-14235231231123123-923
Тогда:
X= A-1∙B=-101-14235231231123123-923∙420=-1∙4+0∙2+1∙0-1423∙4+523∙2+123∙01123∙4+123∙2-923∙0=-4-22
В) методом Гаусса
Выпишем расширенную матрицу системы и методом элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
2-1552133-15420~Умножим первую строку на-52и прибавим ко второй строке~2-15092123-154-80~Умножим первую строку на-32и прибавим ко второй строке~2-1509212012-524-8-6~Умножим вторую строку на-19и прибавим ко третьей строке
~2-150921200-2394-8-469
Таким образом, система принимает вид:
2x1-x2+5x3=492x2+12x3=-8-239x3=-469⇒2x1+2+5∙2=4⇒2x1=-8⇒x1=-492x2+12∙2=-8⇒92x2=-9⇒x2=-2x3=2
Ответ: -4, -2, 2.